Примеры решения прямой и обратной задачи для магнитных цепей

Задача 1. Рассмотрим магнитную цепь на рис. 114.

Необходимо создать магнитный поток Ф= 0,0165 Вб. Определить намагничивающая сила обмотки F.

Задана кривая намагничивания стали (рис. 115) из которой выполнены ферромагнитные участки изображенного контура магнитной цепи (рис. 114).

Решение. Используя рисунок определяем геометрические размеры участков:

L ₁=0,975 м, L ₂=0,82 м, δ=0,002м, S ₁=0,15×0,15=0,0225 м², S ₂=0,1×0,15=0,015 м², S _δ=0,1×0,15=0,015 м².

Определим величину магнитной индукции на каждом участке:

B ₁ = Ф / S ₁ = 0,0165 / 0,0225 = 0,735 Тл;

B ₂ = Ф / S ₂ = 0,0165 / 0,015 = 1,1 Тл;

B _возд = Ф / S _δ = 0,0165 / 0,015 = 1,1 Тл.

Пользуясь кривой намагничивания для литой стали, определим напряжение магнитного поля в первом и во втором участках магнитной цепи:

H₁ = 350 А/м; H₂ = 940 А/м.

Напряженность в воздушном зазоре определяем из соотношения

H_{во зд} = 8 × 10⁵ × B _возд = 8× 10⁵ × 1,1 = 8,8× 10⁵ А/м.

Искомая намагничивающая сила обмотки:

F = H₁ L₁ + H₂ L₂ + H_возд δ = 350 × 0,975 + 940 × 0,82 + 8,8 × 10⁵ × 0,002 = 2870 А.

Обратим внимание на то, что 60% намагничивающей силы затрачивается на поддержание магнитного потока в воздушном зазоре, в то время как ширина зазора δ составляет <0,15% от общей длины магнитной цепи (b₁+b₂+δ). Этот факт является характерным для всех магнитных цепей и заставляет конструкторов электрических машин (во избежание чрезмерного увеличения намагничивающих сил обмоток) делать в магнитных цепях ширину воздушных зазоров возможно малой.

Задача 2. Определить магнитный поток в воздушном зазоре магнитопровода (рис. 114), если намагничивающая сила обмотки F =2000 AB. Значения величины L ₁, L ₂, δ, S₁, S ₂, S _δ взять из задачи 1.

Решение. Для ориентировки предварительно определим магнитный поток Ф₀ в цепи, учитывая только магнитное сопротивление воздушного зазора R _возд =δ/(μ₀S_δ) и пренебрегая сопротивлением ферромагнитных участков цепи:

.

Поскольку магнитное сопротивление всей цепи несколько больше, чем сопротивление воздушного зазора, искомый магнитный поток меньше Ф₀. Зададимся в предварительном расчете значением Ф ≈0,8 Ф₀ =0,015 Вб и определим соответствующую этому потоку намагничивающую силу.

Магнитная индукция на отдельных участках цепи:

B ₁ = Ф / S ₁ = 0,015 / 0,0225 = 0,67 Тл;

B ₂ = Ф / S ₂ = 0,015 / 0,015 = 1,0 Тл;

B _возд = Ф / S _δ = 0,015 / 0,015 = 1,0 Тл.

По кривой намагничивания для литой стали (рис. 115) находим:

H ₁ = 310 А/м, H₂ = 700 А/м, H_возд = 8× 10⁵ А/м.

Намагничивающая сила обмотки:

F ₁ = H₁ L₁ + H₂ L ₂ + H _возд δ = 310 × 0,975 + 700 × 0,82 + 8 × 10⁵ × 0,002 = 2470 А

Далее зададимся еще значениями магнитного потока в 0,014 и 0,012 Вб и проведем аналогичные расчеты. Результаты всех расчетов сведены в табл. 13.1.

По данным таблицы построен график Ф(F) (рис. 116). Из графика находим, что заданной намагничивающей силе F =2000 А соответствует магнитный поток Ф= 0,013 Вб.

Таблица 13.1

Рисунок 116 к задаче 2. График зависимости Ф(F)

Задача 3. Определить число витков и ток в обмотке дросселя (рис. 117), сердечник которого изготовлен из листовой электротехнической стали Э41. Активным сопротивлением обмотки и потоком рассеяния пренебречь. Напряжение источника U =230 В, частота тока f =50 Гц, амплитуда магнитной индукции B _m=1,4 Тл. Размеры сердечника: L ₁=14 см; L ₂=10 см; b ₁=2 см; толщина сердечника b ₂=3 см. Удельный вес стали γ=7,8 г/см³. Стальные листы разделены изоляцией, занимающей 10% всего объема.

Определить ток в обмотке, если в сердечнике выпилить зазор толщиной δ =1 мм.

Рисунок 117 к задаче 3

Решение. Уравнение электрического равновесия для обмотки дросселя имеет вид:

где: R ₁ – активное сопротивление обмотки;

X ₁ – индуктивное сопротивление обмотки, обусловленное потоком рассеяния;

E =4,44 WФ_m – противо- ЭДС, наводимая в обмотке основным магнитным потоком;

Ф_m – амплитуда основного магнитного потока.

Согласно условию задачи R ₁≈0, X ₁≈0 из уравнения равновесия получаем:

U = E = 4,44 W f Ф_m,

Ф_m = B _m S _ст = 0,9 B _m S,

где: S _ст – площадь поперечного сечения стали;

S – площадь поперечного сечения магнитопровода, включая изоляцию между листами: S = b ₁ b ₂=2×10^-2×3×10^-2=6×10^-4, м².

Число витков обмотки:

.

Рассмотрим ток в обмотке в виде двух составляющих: активной I_a, определяемой по мощности потерь в стали, и реактивной I_p (намагничивающий ток), зависящей от магнитный свойств цепи и определяемой по закону полного тока, тогда:

.

Активная составляющая тока:

I _а = P _ст / U, P _ст = p _ст G,

где: Р_ст – мощность потерь в стали;

p _ст – удельная мощность потерь в стали (таблица 13.2);

G – вес стали.

Найдем вес стальной части (без изоляции) магнитопровода:

G = γ S_ст L_ст = 0,9 γ S_ст.

Длина средней силовой линии:

L _ст = 2 (L ₁ - b ₂) + 2 (L ₂ - b ₁) = 2 (12 + 8) = 40 см.

Вес стали:

G = 7,8 × 0,9 × 6 × 40 = 1,68 кг.

Удельная мощность потерь в стали определяется соотношением:

p _ст = P B _m² / 50,

в котором P /50=1,35 Вт (кг×Тл²) – удельная мощность потерь для данной марки стали (таблица 13.2) при индукции 1 Тл и частоте 50 Гц.

Тогда:

p _ст=1,35×1,42=2,646 Вт/кг,

а мощность потерь в стали:

P _ст=2,646×1,68=4,445 Вт.

Активная составляющая тока:

I_a = P _ст / U = 4,445 / 230 = 0,019 A.

Рассматриваемая магнитная цепь является однородной, поэтому на основании закона полного тока найдем амплитудное значение намагничивающего тока:

I_рm = H_m L _ст / W.

Максимальное значение напряженности найдем по кривой намагничивания (таблица13.2) для стали Э41. При В_m =1,4 Тл, Н_m =1300 А/м.

Действующее значение намагничивающего тока:

А.

Ток в обмотке:

А.

Полученные результаты говорят о том, что в катушке с ферромагнитным сердечником активная составляющая тока невелика и можно принимать I ≈ I_p.

Согласно уравнению электрического равновесия амплитуда магнитного потока Ф_m (или амплитуда магнитной индукции) пропорциональна приложенному напряжению U и не зависит от длины воздушного зазора.

С появлением зазора будет изменяться только реактивная составляющая тока, которую найдем при помощи закона полного тока:

I _рm W = H_m L_ст + H_0m δ.

Здесь H_0mδ – составляющая МДС катушки, идущая на создание магнитного поля в воздушном зазоре:

H_0m = B _m / μ₀ = 1,4 / (4 π 10^-7) = 11,146 × 10⁵ А/м.

I _рm W = 1300 × 0,4 + 11,146 × 10⁵ × 0,001 = 1634,6 А

Таким образом, на создание магнитного поля в небольшом воздушном зазоре тратится большая част МДС. Действующее значение реактивной составляющей тока

А.

Общий ток: I ≈ I_p = 0,846 А.

Создание воздушного зазора длиной 1 мм привело к возрастанию тока в катушке в 3раза.