ІІІ етапу Всеукраїнської учнівської олімпіади з фізики

Завдання

(м. Київ, 2013 р.)

9 клас

1. Маємо дві сполучених циліндричні посудини. Ліва посудина заповнена льодом, у який вморожена недеформована пружина жорсткістю

k = 2,5 кН/м. Один кінець пружини прикріплений до дна посудини, а другий знаходиться на рівні межі льоду з повітрям (малюнок). У другу посудину налили гарячу воду. Лід у лівій посудині починає танути знизу горизонтальними шарами, при цьому «льодовий поршень», що утворюється, щільно прилягає до бічних стінок посудини і без тертя може ковзати в циліндрі. Початкова товщина льоду L = 1 м, рівень води у правій посудині H = 70 см. Який рівень води h буде в правій посудині, коли товщина льоду стане рівною l = 50 см? Обидві посудини мають однакову площу перерізу S = 0,5 м² і розташовані на одній висоті. Густина води 1000 кг/м³, густина льоду 900 кг/м³. (10 балів)

Нехай товщина шару води в лівій посудині дорівнює х, а зміна товщини льоду дорівнює

у = L – l =50 см (див. мал.)

Виходячи із співвідношення збереження загальної маси води та льоду:

(1)

Жорсткість окремої ділянки пружини обернено пропорційна її довжині, тому жорсткість вільної частини пружини буде рівною K = kL/y. Сила тиску води знизу на льодовий поршень компенсує силу тяжіння, силу атмосферного тиску зверху і силу з боку пружини

де ρ₁ – тиск безпосередньо над поршнем, ρ_а – атмосферний тиск. З рівності тисків внизу обох посудин маємо:

Підставляючи ρ₁ з (3), а також х з (1) в (2), маємо

Підставляючи чисельні дані та розв’язуючи лінійне рівняння, отримаємо h = 75 см.

Відповідь: h = 75 см.

( Санкт-Петербургская городская олимпиада,

2006 год, 8 класс)

2. На військових маневрах літак, що атакує, летить за безпілотним літаком-ціллю. На літаку-цілі встановлений прилад, що дозволяє за звуком двигуна визначати швидкість літака, що атакує. Прилад завжди підтримує швидкість літака-цілі, що відповідає звуку, який прийшов в даний момент від атакуючого літака. Обидва літаки рухаються вже довгий час вздовж однієї прямої. В деякий момент часу (t = 0 с) літак-ціль знаходиться попереду літака, що атакує, на відстані 10 км від нього. Подано графік залежності переміщення літака, що атакує, від часу. Швидкість поширення звуку дорівнює 330 м/с. Визначити оптимальну відстань між літаками в інтервалі від t = 0 с до t₁ = 10 хв. (10 балів)

Нехай U – швидкість поширення сигналу, що випромінюється атакуючим літаком. Графік залежності L(t) для кожного сигналу, що несе інформацію про швидкість, є прямою з коефіцієнтом U. (За одну хвилину сигнал проходить відстань 330 м/с · 60 с = 19800 м ≈ 20 км).

Будь-яка пряма, що йде під таким кутом повинна перетинати графіки залежностей L(t) для двох літаків в точках, де вони мають однакові швидкості.

Графік залежності L(t) літака-цілі, що задовольняє цій умові, можна отримати паралельним переносом графіка для атакуючого літака вздовж прямої з коефіцієнтом U.

При цьому відстань між літаками при t = 0 c повинна бути рівною 10 км (2 клітинки). Це буде виконано при переносі на 1 клітинку праворуч та на 4 клітинки вгору.

Для точності слід зауважити, що швидкість літака-цілі в кожний момент часу однозначно визначена (за сигналом, що приходить від першого літака), тому й залежність L(t) літака-цілі визначена єдиним можливим способом.

Відстань між літаками мінімальна приблизно при t = 6 хв 15 c і дорівнює приблизно 8 км.

Відповідь: ≈ 8 км.

(Санкт-Петербургская городская олимпиада,

2005 год, 8 класс)

3. Маленька муха літає по колу радіуса r = 1 см зі сталою швидкістю υ = 10 см/с. Центр кола розташований на оптичній осі збиральної лінзи на відстані L = 30 см від неї. Фокусна відстань лінзи

F = 10 см. Знайти мінімальну та максимальну величини швидкості зображення мухи, що створює лінза. За якого положення зображення вони досягаються? (10 балів)

Розглянемо зображення кола, по якому літає муха. Його центр буде розташований на відстані S від лінзи, тоді

Відомо, що зображення, яке створює лінза, буде «розтягнутим» в рази поперек оптичної осі та в рази вздовж оптичної осі. Аналогічно будуть перетворюватись й компоненти швидкості мухи.

Максимальна та мінімальна швидкості зображення мухи рівні відповідно. Максимальна швидкість досягається, коли муха перетинає оптичну вісь лінзи, мінімальна – в точці найбільшого віддалення від осі.

Такий розв’язок використовує наближення сталого коефіцієнту збільшення, оскільки r << L-f. Задачу можна розв'язати й точно, що потребує довгих розрахунків. Максимальна швидкість тоді буде один раз на колі в точці перетину траєкторії зображення мухи та оптичної осі, що віддалена від лінзи. Точки ж зображення при мінімальній швидкості (їх буде дві), очевидно, змістяться у бік лінзи.

4. Дві тонкі дротини однакової довжини з’єднали паралельно і підключили послідовно з лампочкою до джерела постійної напруги. Перша дротина нагрілась на 16⁰ вище за кімнатну температуру, а друга – в α = 2 рази менше. На скільки градусів вище кімнатної температури нагріються дротини, якщо їх паралельне з'єднання замінити на послідовне? Опір кожної з дротин набагато менший за опір лампочки і джерела, залежність опору від температури не враховувати. (10 балів)

Нехай r₁ і r₂ – радіуси дротинок, l – їх довжина; тоді опори дротинок

Потужність електричного струму, що виділяється на кожній з дротинок при паралельному з’єднанні дорівнює:

де U – напруга на дротинках. В установленному режимі, коли перша дротинка нагрілася на Δt₁, а друга – на Δt₂, вся потужність електричного струму витрачається через бокові поверхні дротинок на нагрівання оточуючого середовища:

де k – коефіцієнт пропорційності.

Прирівнюючи (1) і (3) та (2) і (4), отримаємо:

звідки маємо

Отже, відношення струмів через дротинки при паралельному з’єднанні

Оскільки опір кожної з дротинок менший за опір лампочки та джерела, то при заміні паралельного з’єднання на послідовне сила загального струму в колі не зміниться:

Нагрівання дротинок (від кімнатної температури) в двох випадках прямо пропорційне виділеній на них потужності електричного струму:

де величини із штрихами відносяться до послідовного підключення дротинок. Звідси маємо:

5. У лабораторії провели дослідження 1 г нової рідини Х. Маємо графік залежності об’єму зразка від температури. Теплоємність зразка виявилась рівною C_x = 3 Дж/⁰С та незалежною від температури. Температура кипіння T_к = 80⁰С, теплота пароутворення Q_п = 240 Дж. Також з’ясувалося, що ця рідина не змішується з водою. У воду об'ємом V_в = 5 мл при температурі T_в = 90⁰С налили V_x = 1 мл рідини Х при температурі T_x. Знайти мінімальну температуру T_x, за якої вся додана у воду рідина Х википить. Питома теплоємність води 4,2 Дж/г∙⁰С. (10 балів)

Нехай маса рідини Х, яку вливають у воду, дорівнює m_x, маса досліджуваного зразка рідини – m_0x = 1 г. Спочатку рідина Х, що налита у воду, буде нагріватись, а вода – охолоджуватись. Коли температура рідини Х досягне Т_к, вона почне википати, але вода продовжуватиме охолоджуватись. В граничному випадку, коли вся рідина Х википить, температура води буде рівною Т_к. теплоємність рідини, що налита, дорівнює , а повна теплота пароутворення дорівнює . Тоді рівняння теплового балансу має вигляд:

Але

де V₀(T) – об’єм досліджуваного зразка за температури Т. Підставляючи чисельні значення, отримаємо рівняння

Зобразивши праву частину рівняння на графіку (малюнок), можна визначити шукане T_x ≈ 66⁰С.

Відповідь: T_x ≈ 66⁰С.

(Санкт-Петербургская городская олимпиада,

2006 год, 8 класс)