Законы Ньютона. Закон всемирного тяготения

Результирующая сил, действующих на тело, равна произведению массы на ускорение этого тела, измеренное в инерциальной системе отсчёта.

Это утверждение называют вторым законом Ньютона, который устанавливает связь между ускорением тела и силой, действующей на него. В повседневной жизни мы часто сталкиваемся с проявлениями этого закона. Известно, что чем сильнее толкать тело, тем большее ускорение можно ему сообщить. С другой стороны, применяя одну и ту же силу, легче разогнать пустой автомобиль, чем гружёный.

Если взять какое-нибудь тело и, действуя на него с определённой силой, измерить его ускорение, а потом повторить измерения для нескольких других величин силы и построить график, то окажется, что все точки лежат на одной прямой (см., например, голубую прямую на рис. 2 а). Значит, отношение силы F к ускорению a, которое она вызвала, является постоянной величиной (const) для данного тела, что можно записать в виде:

(2)

Очевидно, что const из (2) должна быть больше для массивных и тяжёлых тел, так как их разогнать труднее. Если построить зависимость F от a для двух кубиков, сделанных из одного материала, но разных размеров (голубой и красный кубики на рис.9 а), то окажется, что прямая, соответствующая большему кубику, будет составлять больший угол с осью абсцисс.

(3)

Величину const из (2), которая равна отношению модуля силы к модулю ускорения, называют массой тела и обычно обозначают буквой m. Масса тела служит мерой его инерции – способности тела ускоряться под действием силы. Чем больше масса тела, тем более оно инертно, тем тяжелее его разогнать. Пользуясь данным определением массы m тела, уравнение (2) можно переписать в виде:

Единицей измерения массы в системе СИ служит килограмм (кг). Заметим, что литр воды при комнатной температуре имеет массу около 1 кг.

Уравнение (3) является самой популярной формой записи второго закона Ньютона, из которой следует, что для придания телу массой 1 кг ускорения 1 м/с² необходима сила, равная 1 кг^.м/с². Величину силы, равную 1 кг^.м/с², называют одним Ньютоном (1 Н). Таким образом, сила 1 Н сообщает телу массой 1 кг ускорение 1 м/с². В системе СИ единицей измерения силы выбран Н.

Как следует из (3), направление результирующей F сил, действующих на тело, всегда совпадает с направлением вектора ускорения a. Однако направление силы F может и не совпадать с направлением скорости v тела, как это имеет место при криволинейном движении (см. рис.2 б). В этих случаях составляющая вектора F, перпендикулярная скорости движения (см. красный вектор, обозначенный пунктиром на рис. 2 б), сообщает телу центростремительное ускорение, вектор которого направлен к центру О кривизны траектории.

а) б)

Рисунок 2 (а) - Линейные соотношения между ускорением и силой, приложенной к большому и малому телу (красный и голубой цвет, соответственно);

б) – Соотношения между направлением скорости v тела, движущегося криволинейно и силы F, действующей на него; О – центр кривизны в данной точке траектории.

Два тела, взаимодействующие между собой, всегда действуют друг на друга с силами, векторы которых равны по модулю, противоположны по направлению и лежат на одной прямой.

В справедливости третьего закона Ньютона мы убеждаемся на каждом шагу. Действительно, делая шаг, мы действуем на землю с силой, направленной вниз. От действия нашей силы участок земли под ступнёй деформируется, и возникающие в результате этого упругие силы земли действуют на ступню вверх. Стоя на земле, мы давим на неё вниз с силой, равной силой тяжести, а она в ответ действует на нас с точно такой же силой, направленной вверх.

Попробуем использовать третий закон Ньютона, чтобы найти силу, с которой мяч массой m действует на стену, отскакивая от неё (см. рис. 3 а). В течение короткого промежутка времени D t контакта мяча со стеной на него действовала сила, изменившая его скорость на величину (v ₂- v ₁), которую можно найти по второму закону Ньютона. Третий закон Ньютона утверждает, что в любой момент этого контакта сила, с которой мяч действовал на стену, всегда была равна по величине силе, с которой стена действовала на мяч, изменяя скорость его движение. Это позволяет вычислить силу F, действующую со стороны мяча на стену (см. рис.3 а).

Опыты показали, что третий закон Ньютона справедлив не только для сил упругости, которыми обмениваются взаимодействующие тела, но и для сил трения. Так, тело А, скользящее по поверхности тела Б со скоростью v, испытывая на себе тормозящее действие силы трения F, действует на тело Б с силой, равной по величине силе трения, но противоположно направленной (см. рис. 3 б).

Третий закон Ньютона, казалось бы, делает бессмысленной известную игру «перетягивание каната», ведь, на людей, тянущих за канат с обеих сторон, действуют одинаковая сила – упругая сила растянутой верёвки (см. рис. 3 в). Однако на человека, держащего канат, действует не только сила растянутого каната F _К, но и направленная в противоположную сторону горизонтальная составляющая силы реакции опоры. Сила реакции опоры возникает тогда, когда тянущий канат человек начинает упираться ногами в землю, деформируя её, и в ответ (по третьему закону Ньютона) получает от земли силу направленную горизонтально. Если оба человека одинаково сильно упираются в землю, то сила натяжения каната F _К= F _А= F _Б, и никакого движения не будет, но как только, например, F _Б станет меньше F _А, результирующая сил, приложенных к человеку Б, сразу же сдвинет его и он проиграет. Таким образом, в эту игру выигрывает не тот, кто сильнее тянет, а тот, кто сильнее упирается.

Автомобиль не мог бы сдвинуться с места без третьего закона Ньютона. Работа мотора заставляет участок колеса, соприкасающийся с землёй, двигаться назад (см. рис. 3 г). Однако хорошее сцепление с дорогой препятствует этому движению, и колесо лишь давит на землю с силой F в этом направлении. Земля, как только на неё начинает давить, отвечает силой, приложенной к колесу и направленной противоположно, т.е. вперёд. Таким образом, сила реакции земли и является той силой, которая движет автомобилем.

Рисунок 3 - Применение третьего закона Ньютона для (а) вычисления силы, действующей на стену со стороны отскакивающего мяча, (б) силы трения, (в) анализа игры «перетягивание каната» и (г) нахождения силы, движущей автомобиль.

Любые два тела притягиваются друг к другу с силой, которая прямо пропорциональна массам обоих тел и обратно пропорционально квадрату расстояния между ними.

Этот закон, называемый законом всемирного тяготения, в математической форме записывается следующим образом:

где m ₁ и m ₂ – массы тел, R – расстояние между ними, а G - гравитационная постоянная, равная 6,67^.10^-11 Н^.м²/кг².

(4)

Закон всемирного тяготения был впервые сформулирован И. Ньютоном, когда он пытался объяснить один из законов И. Кеплера, утверждающий, что для всех планет отношение куба их расстояния R до Солнца к квадрату периода T обращения вокруг него одинаково, т.е.

(5)

Выведем закон всемирного тяготения так, как сделал это Ньютон, считая, что планеты движутся по окружностям. Тогда по второму закону Ньютона на планету массой m _Пл, движущуюся по окружности радиуса R со скоростью v и центростремительным ускорением v ²/ R должна действовать сила F, направленная к Солнцу и равная:

(6)

Скорость v планеты можно выразить через радиус R орбиты и период обращения T:

(7)

Подставляя (7) в (6) получаем следующее выражение для F:

(8)

Из закона Кеплера (5) следует, что T ² = const ^. R ³. Следовательно, (8) можно преобразовать в:

(9)

Таким образом, Солнце притягивает планету с силой прямо пропорциональной массе планеты и обратно пропорционально квадрату расстояния между ними. Формула (9) очень похожа на (4), не хватает лишь массы Солнца в числителе дроби справа. Однако если сила притяжения между Солнцем и планетой зависит от массы планеты, то эта сила должна зависеть также и от массы Солнца, а значит, константа в правой части (9) содержит массу Солнца в качестве одного из сомножителей. Поэтому Ньютон выдвинул своё знаменитое предположение, что гравитационная сила должна зависеть от произведения масс тел и закон стал таким, каким мы его записали в (4).

Закон всемирного тяготения и третий закон Ньютона не противоречат друг другу. По формуле (4) сила, с которой тело 1 притягивает тело 2, равно силе, с которой тело 2 притягивает тело 1.

Для тел обычных размеров гравитационные силы очень малы. Так, два рядом стоящих легковых автомобиля притягиваются друг к другу с силой, равной весу капли дождя. С тех пор, как Г. Кавендиш в 1798 г. определил значение гравитационной постоянной, формула (4) помогла совершить очень много открытий в «мире огромных масс и расстояний». Например, зная величину ускорения свободного падения (g =9,8 м/с²) и радиус Земли (R =6,4^.10⁶ м), можно вычислить её массу m _З следующим образом. На каждое тело массой m ₁ вблизи поверхности Земли (т.е. на расстоянии R от её центра) действует гравитационная сила её притяжения, равная m ₁ g, подстановка которой в (4) вместо F даёт:

(10)

откуда получаем, что m _З = 6^.10²⁴ кг.