Раздел 4. Тематика самостоятельной контролируемой работы.

1. Вероятность попадания в заданный интервал нормальной случайной величины.

2. Определение показательного распределения. Вероятность попадания в заданный интервал показательно распределенной СВ.

3. Несмещенные, эффективные и состоятельные оценки.

4. Генеральная и выборочные средние.

5. Генеральная и выборочная дисперсия.

6. Понятие корреляционной зависимости. Условные средние. Выборочное уравнение регрессии.

7. Корреляционная таблица.

8. Определение случайной функции.

9. Математическое ожидание случайной функции и его свойства.

10. Дисперсия случайной функции и ее свойства.

11. Корреляционная функция случайной функции и ее свойства.

12. Нормированная корреляционная функция случайной функции и ее свойства.

13. Взаимная корреляционная функция случайной функции и ее свойства.

14. Нормированная взаимная корреляционная функция случайной функции и ее свойства.

15. Случайные числа. Разыгрывание ДСВ методом Монте - Карло.

16. Разыгрывание противоположных событий и полной группы событий методом Монте- Карло.

17. Первоначальные сведения о Цепях Маркова.

18. Однородные цепи Маркова.

19. Равенство Маркова.

РАЗДЕЛ 5. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ И ТЕМАТИКА КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

ЗАДАНИЕ№1.

Найти законы распределения, математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение ДСВ Х+У,ХУ,Х²,если законы распределения ДСВ Х и У заданы таблицей №1 и №1(2) соответственно.

Таблица №1.

Таблица №1(2).

ЗАДАНИЕ№2.

Составить закон распределения числа нестандартных деталей среди n отобранных, если в партии N стандартных и M нестандартных деталей. Найти M(X),D(X) и построить многоугольник распределения. Значения M,N и n заданы в таблице № 2 согласно вариантам.

Таблица №2.

ЗАДАНИЕ№3.

Найти и построить эмпирическую функцию распределения по данному распределению выборки. Значения вариант X_i и частот n_i в таблице №3, согласно номерам вариантов.

Таблица №3.

ЗАДАНИЕ №4.

При испытании радиоэлектронной аппаратуры фиксировалось количество отказов за период времени Т. Результаты 1000 испытаний приведены в таблице №4, где x_i- число отказов аппаратуры за время Т, а n_i- количество испытаний в которых аппаратура отказала x_i раз. Требуется:

3. Найти выборочное среднее, выборочную дисперсию и выборочное среднее квадратическое отклонение числа отказов аппаратуры за период времени Т, построить полигон относительных частот;

4. выдвинуть гипотезу о законе распределения числа отказов аппаратуры и проверить по критерию согласия Пирсона при уровне значимости α=0,05.

Таблица №4.

РАЗДЕЛ 6.ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ.

Теоретические вопросы.

1.Предмет теории вероятностей. Испытания (опыт, события).

2.Элементарные события, полная группа событий, пространство

элементарных событий.

3.Вероятность, классическое определение вероятности.

4.статистическая вероятность (частота).

5.Геометрические вероятности.

6.Основные формулы комбинаторики.

7.Алгебра событий.

8.Теорема сложения вероятностей несовместных событий. Полная группа

событий. Противоположные события.

9.Условная вероятность, теорема умножения вероятностей.

10.Теорема сложения вероятностей для совместных событий. Теорема

умножения вероятностей для независимых событий.

11.Формула Бернулли.

12.Локальная теорема Лапласа.

13.Интегральная теорема Лапласа.

14.Понятие С.В. Дискретные и непрерывные С.В.

15.Закон распределения вероятностей Д.С.В. Полигон.

16.Операции над Д.С.В.

17.Биномиальное распределение.

18.Распределение Пуассона.

19.Геометрическое распределение.

20.Математическое ожидание Д.С.В.

21.Свойства математического ожидания Д.С.В.

22.Дисперсия Д.С.В. и ее свойства.

23.Функция распределения и ее свойства.

24.Плотность распределения и ее свойства.

25.Математическое ожидание Н.С.В.

26.Дисперсия Н.С.В.

27.Показательное распределение.

28.Нормальное распределение.

29.Основные понятия математической статистики.

30.Статистическая гипотеза. Статистический критерий.

31.Критическая область.

32.Критерий согласия Пирсона.

33.Выборочное уравнение прямой линии регрессии.

Практические вопросы.

1. Коммутатор учреждения обслуживает 100 абонентов. Вероятность того, что в течение минуты абонент позвонит на коммутатор, равна 0,02. Какое событие вероятнее: в течение 1 мин позвонят 3 абонента; позвонят 4 абонента.

2. ДСВ Х задана законом распределения: Х 2 6 10

Р 0,5 0,4 0,1

Построить график функции распределения этой величины.

3. Случайная величина задана плотностью распределения: f(x)= sinx/2, при х из интервала (0; п/2]; вне этого интервала f(х)=0. Найти функцию распределения.

4. Случайная величина задана плотностью распределения: f(x)= sinx/2, при х из интервала (0; п/2]; вне этого интервала f(х)=0. Найти вероятность того, что в результате испытания СВ примет значение, заключенное в интервале (0;п/4).

5. Случайная величина задана функцией распределения: F(х)=0 при х меньше либо=0; F(х)=(1-cosx)/2 при х из (0;п); F(х)=1 при х больше п. Найти плотность распределения.

6. Случайная величина задана функцией распределения: F(х)=0 при х меньше либо=0; F(х)=(1-cosx)/2 при х из (0;п); F(х)=1 при х больше п. Найти вероятность того, что СВ примет значение, заключенное в интервале (п/6;п/2).

7. Случайная величина задана плотностью распределения: f(x)= x/2, при х из интервала (0; 2]; вне этого интервала f(х)=0. Найти М(Х).

8. Случайная величина задана плотностью распределения: f(x)= 5, при х из интервала (0; 2]; вне этого интервала f(х)=0. Найти Д(Х).

9.

Найти выборочную дисперсию по данным выборки: Хi 1 2 3 4

Ni 20 15 10 5

10. Найти выборочную среднюю по данным выборки и найти распределение: относительных частот.

Хi 1 2 3 4

Ni 20 15 10 5

11. Внутрь круга радиуса 10см. наудачу брошена точка. Найти вероятность того, что точка окажется внутри вписанного в круг квадрата.

12. Вероятность того, что стрелок при одном выстреле выбьет 10 очков, равна 0,1;вероятность выбить 9 очков равна 0,3; вероятность выбить 8 очков или меньше равна 0,6. Найти вероятность того, что при одном выстреле стрелок выбьет не менее 9 очков.

13. В урне 10 белых, 7 черных и 3 синих шара. Каждое испытание состоит в том, что наудачу извлекают один шар,не возвращая его обратно. Найти вероятность того, что при первом испытании появится синий шар, при втором – белый, а при третьем – черный.

14. В первом ящике содержится 20 деталей, из них 15 стандартных; во втором -30 деталей, из них 24 стандартных; в третьем – 10 деталей, из них 6 стандартных. Найти вероятность того, что наудачу извлеченная деталь из наудачу взятого набора – стандартна.

15. Вероятность поражения мишени стрелком при одном выстреле равна 0,75. Найти вероятность того, что при 20 выстрелах стрелок поразит мишень 15 раз.

16. Вероятность поражения мишени стрелком при одном выстреле равна 0,75. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена не менее 70 и не более 80 раз.

17. Игральная кость брошена 2 раза. Написать закон распределения числа выпадения пятерки.

18. Производится бросание игральной кости до первого выпадения 6. Найти вероятность того, что первое выпадение 6 произойдет при 3 бросании игральной кости.

19. Найти М(Х) и Д(Х) С.В. Х зная ее закон распределения.

Х 3 5 2

Р 0,1 0,6 0,3

20. В партии из 9 деталей 7 стандартных. Найти вероятность того, что среди 6 взятых наудачу деталей 4 стандартных.

РАЗДЕЛ 7. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ.

1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб.пособие для вузов/В.Е. Гмурман.-9-е изд.,стер.-М.: Высш.шк.,2003.-479с.:ил.

2. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: Учеб.пособие для вузов/В.Е. Гмурман.-9-е изд.,стер.-М.: Высш.шк.,2003.-479с.:ил.

3. Кремер Н. Ш. Теория вероятностей и математическая статистика:Учебник.-М.:ЮНИТИ- ДАНА, 2001.

4. Данко П.Е, Попов, Кожевникова Т.Я.Высшая математика в упражнениях и задачах:Учеб.пособие для вузов-М.: Высш.шк.,2001.

5. Красс М.С. Основы математики и ее приложения в экономическом образовании/М.С.Красс,Б.П.ЧУпрынов.-М.:Дело,2001.

6. Ниворожкина Л.И.,Морозова З.А.,Герасимова И.А.,Житников И.В. Основы статистики с элементами теории вероятностей для экономистов:Руководство для решения задч.-Ростов н/Д:Феникс,1999.-320с.

Глоссарий.

Алгебра событий- раздел теории вероятностей, изучающий свойства событий, на которых заданы операции È,Ç,\.(ÊÌÍ£).

Безусловной вероятностью появления события А называется – вероятность если при вычислении вероятности события никаких других ограничений, кроме условий S, не налагается.

Бесповторной называют выборку- при которой отобранный объект в генеральную совокупность не возвращается.

Вероятностью события А называют- отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу.

Выборочной совокупностью, или просто выборкой, называют- совокупность случайно отобранных объектов.

Генеральной совокупностью называют- совокупность объектов, из которой производится выборка.

Дискриминантный анализ- предназначен для решения задач, связанных с разделением совокупностей наблюдений (элементарных данных).

Дисперсией НСВ называют- математическое ожидание квадрата ее отклонения.

Кластерный анализ- метод который позволяет разбивать исследуемую совокупность элементов (координаты которых известны) таким образом, чтобы элементы одного класса находились на небольшом расстоянии друг от друга, в то время как разные классы были бы на достаточном удалении друг от друга и не разбивались бы на столь же взаимоудаленные части.

Конкурирующей (альтернативной)- называют гипотезу H₁, которая противоречит нулевой.

Корреляционная связь – это зависимость среднего значения результативного признак от изменения факторного признака.

Критерием согласия называют- критерий проверки гипотезы о предполагаемом законе распределения.

Критической областью - называют совокупность значений критерия, при которых H₀ отвергают.

Коэффициент ковариации -это мера совместной вариации признаков, с его помощью можно определить наличие и направление связи, но нельзя определить степень тесноты связи.

Математическим ожиданием НСВ Х, возможные значения которой принадлежат отрезку [a;в], называют- определенный интеграл:

_в

М(Х)= òх¦(х)dx.

Многомерный статистический анализ - раздел математической статистики, объединяющий методы изучения статистических данных, которые являются значениями многомерных качественных или количественных признаков. основное внимание МСА уделяет математическим методам построения оптимальных планов сбора, систематизации и обработки данных, направленным на выявление структуры и характера взаимосвязей между компонентами исследуемого многомерного признака и предназначенным для получения научных и практических выводов.

Наблюдаемым значением к_набл - называют значение критерия, вычисленное по выборкам.

Нормальным называют- распределение вероятностей НСВ, которое задается плотностью:

_¾

¦(х)= ( 1/sÖ2p)*exp(-[x-a]²/2s²

Нулевой (основной)- называют выдвинутую гипотезу H₀.

Областью принятия гипотезы- называют совокупность значений критерия, при которых гипотезу принимают.

Объемом совокупности- называется число объектов этой совокупности.

Опытом (экспериментом, наблюдением, испытанием) - называется некоторая воспроизводимая совокупность условий S, которую можно повторять любое количество раз.

Относительной частотой события называют- отношение числа испытаний, в которых появилось событие, к общему числу фактически произведенных испытаний.

Перестановками называют- комбинации, из одних и тех же n различных элементов и отличающиеся только порядком их расположения.

Повторной называют выборку- при которой отобранный объект (перед отбором следующего) возвращается в генеральную совокупность.

Показательным (экспоненциальным) называют- распределение вероятностей НСВ Х, которое описывается плотностью:

_{æ 0,при х<0;}

_í

¦(х)= _{è lе}^-lх_{, при х³0.}

где l=const,l>0.

Пространством элементарных событий называется - совокупность (множество) всех элементарных событий, связанных с данным экспериментом и обозначается Ώ.

Регрессия- это односторонняя статистическая зависимость

События-

- благоприятствующие событию А- те элементарные события в которых

интересующее нас событие А наступает,

- независимые, если появление одного, не изменяет вероятность

появления другого события.

-несовместны в одном испытании если в результате опыта их

совместное появление невозможно,

-противоположными называют два единственно возможных события

образующих полную группу,

-событием называется результат опыта.

Сочетаниями называют - комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов, которые отличаются хотя бы одним элементом.

Статистическим критерием (или просто критерием)- называют случайную величину К, которая служит для проверки нулевой гипотезы.

Статистическим распределением выборки - называют перечень вариант и соответствующих им частот или относительных частот.

Статистической называют гипотезу - о виде неизвестного распределения, или о параметрах известных распределений.

Условной вероятностью Р_А(В) - называют вероятность события В, вычисленную в предположении, что событие А уже наступило, и она равна:

Р_А(В)=Р(АВ)/Р(А).

Эмпирической функцией распределения - называют функцию F^*(x), определяющую для каждого значения х относительную частоту события Х<x, т.е. F^*(x)= n_x /n, где n_x – число вариант меньших х.