Тема 6.НСВ и их числовые характеристики.

1.Функция распределения и ее свойства.

2.Плотность распределения и ее свойства.

3.Математическое ожидание Н.С.В.

4.Дисперсия Н.С.В.

5.Показательное распределение.

6.Нормальное распределение.

1.Рассмотрим СВ Х, возможные значения которой сплошь заполняют интервал (а;в). Невозможно составить перечень всех возможных значений Х.

Пусть х- действительное число вероятность события состоящего в том, что Х примет значение, меньше х т.е. вероятность события х>Х, обозначим через F(x).

Опр.Функцией распределения называют функцию F(x), определяющую вероятность того, что СВ Х в результате испытания примет значение, меньшее х: Р(Х<х)= F(x).

Опр. СВ называют непрерывной, если ее функция распределения есть непрерывная, кусочно – дифференцируемая функция с непрерывной производной.

Свойства:

1.0£ F(x)£1;

2.Если х₂>х₁ ,то F(x₂)³ F(x₁);

3.Р(а£х£в)= F(в)- F(а);

4.Вероятность того, что НСВ Х примет одно определенное значение равна 0.

5.Если возможные значения СВ принадлежат интервалу (а;в), то: 1) F(x)=0 при х£а;2) F(x)=1 при х³ в.

2.Опр. Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х называют функцию ¦(х) – первую производную от функции распределения F(x):

¦(х)= F(x)^¢

Теорема.

Вероятность того, что непрерывная СВ Х примет значение, принадлежащее интервалу (а;в), равна определенному интегралу от плотности распределения, взятому в пределах от а до в;

_в

Р(а£х£в)=ò¦(х)dx.

^а

Замечание: зная плотность распределения можно найти функцию распределения по формуле _х

F(x)= )=ò¦(х)dx.

^-¥

Свойства:

1.Плотность распределения неотрицательная функция F(x)³0.

_+¥

2. ò¦(х)dx=1.

^-¥

3.Опр. Математическим ожиданием НСВ Х, возможные значения которой принадлежат отрезку [a;в], называют определенный интеграл:

_в

М(Х)= òх¦(х)dx.

^а

Если возможные значения принадлежат всей числовой оси, то

_-¥

М(Х)=òх¦(х)dx.

^-¥

4.Опр. Дисперсией НСВ называют математическое ожидание квадрата ее отклонения:

Если возможные значения НСВ принадлежат отрезку [a;в];

_в

D(X)=ò[х-М(Х)]²¦(х)dx

^а

Если возможные значения НСВ принадлежат всей числовой оси, то

_¥

D(X)=ò[х-М(Х)]²¦(х)dx

^-¥

Замечание:

1.Свойства дисперсии ДСВ сохраняются и для НСВ;

2.Дисперсию можно вычислить и поформулам:

_в

D(X)=òх²¦(х)dx -М²(Х),

^а

_¥

D(X)=òх²¦(х)dx -М²(Х).

^-¥

5.Опр. Нормальным называют распределение вероятностей НСВ, которое задается плотностью:

_¾

¦(х)= ( 1/sÖ2p)*exp(-[x-a]²/2s²

Нормальное распределение определяется двумя параметрами а- математическое ожидание и s- среднее квадратическое отклонение нормального распределения.

Если СВ распределена по нормальному закону распределения то вероятность того, что Х примет значение из интервала (a;b), равна:

_b

`Р(a£х£b)= ( 1/sÖ2p)òexp(-[x-a]²/2s²)dх

^a

Или после преобразований имеем: `Р(a£х£b)= F(b-а/s)-F(a-а/s).

Рис1. Нормальная кривая.

6.Показательным (экспоненциальным) называют распределение вероятностей НСВ Х, которое описывается плотностью:

_{æ 0,при х<0;}

_í

¦(х)= _{è lе}^-lх_{, при х³0.}

где l=const,l>0.

Путем интегрирования находим функцию распределения показательного закона:

_{æ 0,при х<0;}

_í

F(х)= _{è 1-lе}^-lх_{, при х³0.}

где l=const,l>0.

Найдем вероятность попадания в интервал (а,в) НСВ Х которая распределена по показательному закону,

Р(а<х<в)=e^-la –e^-lв,

а ее числовые характеристики таковы:

М(Х)=1/l, D(Х)=1/l².

Тема 7. Основные понятия математической статистики.

1.Выборочный метод.

2.Генеральная и выборочная совокупность, повторная и бесповторная выборки.

3.Статистическое распределение выборки.

4.Эмпирическая функция распределения.

1.Установление закономерностей, которым подчинены массовые случайные явления, основано на изучении методами теории вероятностей статистических данных – результатов наблюдений.

Первая задача математической статистики – указать способы сбора и группировки статистических сведений, полученных в результате специально поставленных экспериментов.

Вторая задача – это разработать методы анализа статистических данных в зависимости от цели исследования.

Пусть требуется изучить совокупность однородных объектов относительно количественного или качественного признака характеризующего эти объекты.

2.Опр.Выборочной совокупностью, или просто выборкой, называют совокупность случайно отобранных объектов.

Опр. Генеральной совокупностью называют совокупность объектов, из которой производится выборка.

Опр. Объемом совокупности называется число объектов этой совокупности.

Опр.Повторной называют выборку, при которой отобранный объект (перед отбором следующего) возвращается в генеральную совокупность.

Опр. Бесповторной называют выборку, при которой отобранный объект в генеральную совокупность не возвращается.

Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка, причем х₁ наблюдалось n₁ раз, х₂-n₂ раз, х_k- n_k раз и Sn_i=n – объем выборки. Наблюдаемые значения х_i называют вариантами, а последовательность вариант записанных в возрастающем порядке, - вариационным рядом. Числа наблюдений называют частотами, а их отношения к объему выборки n_i /n=W_i относительными частотами.

3.Опр. Статистическим распределением выборки называют перечень вариант и соответствующих им частот или относительных частот. Статистическое распределение можно задавать так же в виде последовательности интервалов и соответствующих им частот.

4.Опр. Эмпирической функцией распределения называют функцию F^*(x), определяющую для каждого значения х относительную частоту события Х<x, т.е. F^*(x)= n_x /n, где n_x – число вариант меньших х.

Свойства:

1). F^*(x) – неубывающая;

2). Если х₁ – наименьшая варианта, то F^*(x)=0, при х<x₁; если х_k – наибольшая варианта, то F^*(x)=1, при х>х_k.