Теорема умножения вероятностей.

Вероятность совместного появления двух событий равна произведению одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило.

Доказательство.

По определению условной вероятности Р_А(В)=Р(АВ)/Р(А), следовательно Р(АВ)=Р(А) Р_А(В)=Р(В)Р_В(А).

Опр 5.Событие В называют независимым от события А, если появление события А не изменяет вероятности события В, т.е. если условная вероятность события В равна его безусловной вероятности: Р_А(В)=Р(В).

3.

Теорема 5.

Теорема умножения вероятностей для независимых событий.

Если события А и В независимы, то Р(АВ)=Р(А)Р(В).

Доказательство.

Согласно теореме умножения: Р(АВ)=Р(А) Р_А(В), но так как события А и В независимы то, Р_А(В)=Р(В). Подставляем последнее равенство в предыдущее, получаем: Р(АВ)=Р(А)Р(В).

Следствия:

1). Если событие А не зависит отсобытия В, то и событие В не зависит от события А.

2). Два события называются независимыми, если вероятность их совмещения равна произведению их вероятностей, в противном случае события называются зависимыми.

3). Если А и В независимы, то независимы А и `В, `А и В.

Опр6. Два события называются несовместными, если появление одного из них не исключает появление другого в одном и том же испытании.

Теорема 6.

Теорема сложения вероятностей.

Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления: Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ).

Раздел 3. Повторение испытаний.

Тема 3.Теоремы о повторении опытов.

1.Формула полной вероятности.

2.Теорема гипотез(Формула Байеса)

3.Формула Бернулли.

4.Локальная теорема Лапласа.

5.Интегральная теорема Лапласа.

1.

Теорема.

Формула полной вероятности.

Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий В₁, В₂, В₃,…..,В_n, образующих полную группу, равна сумме произведений каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А.

Р(А)= Р(В₁) Р_В1(А)+ Р(В₁) Р_В1(А)+… +Р(В_n) Р_Вn(А).

2.

Теорема.

Формула Байеса.

События В₁,В₂,…В_n называют гипотезами.

Допустим, что произведено испытание, в результате которого появилось событие А. Необходимо определить, как изменились вероятности гипотез, будем искать условные вероятности Р_А(В₁), Р_А(В₂),…, Р_А(В_n).

Р_А(В_i)=(Р(В_i) Р_Вi(А))/(Р(В₁) Р_В1(А)+ Р(В₁) Р_В1(А)+… +Р(В_n) Р_Вn(А)).

Опр1. Если производятся несколько испытаний, причем вероятность события А в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называют независимыми относительно события А.

3.

Теорема 1.

Формула Бернулли.

Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых событие А может либо появиться либо не появиться. Вероятность появления события А в каждом испытании одна и та же и равна Р(А)=p. Следовательно вероятность не наступления события А в каждом испытании так же постоянна и равна q=1-p. Вычислим вероятность того, что при n испытаниях событие А наступит ровно k раз, и следовательно не осуществится ровно n-k раз:

Р_n(k)=C_n^kp^k q^n-k.

4.

Теорема.