Раздел 2.Основные теоремы теории вероятностей.

Тема 2. Теоремы сложения и умножения вероятностей.

1.Теорема сложения вероятностей несовместных событий. Полная группа событий. Противоположные события.

2.Условная вероятность, теорема умножения вероятностей.

3.Теорема сложения вероятностей для совместных событий. Независимые события, теорема умножения вероятностей для независимых событий.

1.

Теорема 1.

Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий.

Доказательство.

n- общее число элементарных исходов испытания, m₁- число исходов благоприятствующих событию А₁, m₂- число исходов благоприятствующих событию В. Число элементарных исходов благоприятствующих появлению либо события А либо события В равно m₁+ m_2, следовательно

Р(А+В)=( m₁+ m₂)/ n= m₁/n+ m₂/n,

т.к. m₁/n=Р(А), а m₂/n=Р(В),тогда Р(А+В)=Р(А)+Р(В).

Теорема 2.

Сумма вероятностей событий А₁, А₂, А₃,А₄,…..А_n, образующих полную группу, равна единице: Р(А₁)+Р(А₂)+Р(А₃)+…..+Р(А_n)=1.

Доказательство.

Т.к. появление одного из событий полной группы достоверно, а вероятность достоверного события равна 1, то Р(А₁ + А₂ + А₃ +…..+А_n)=1. Любые два события полной группы несовместны, поэтому можно применить теорему сложения вероятностей для несовместных событий: Р(А₁)+Р(А₂)+Р(А₃)+…..+Р(А_n)=1.

Опр1. Противоположными называют два единственно возможных события образующих полную группу. Если одно из двух противоположных событий обозначено А, то другое принято обозначать `А.

Теорема 3.

Сумма вероятностей противоположных событий равна 1.

Р(А)+Р(`А)=1.

Доказательство.

Противоположные события образуют полную группу, а сумма вероятностей событий образующих полную группу равна 1.

2.Опр2. Произведением двух событий А и В называют событие АВ, состоящее в совместном появлении этих событий. Произведением нескольких событий называют событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий.

Опр3. Если при вычислении вероятности события никаких других ограничений, кроме условий S, не налагается, то такую вероятность называют безусловной, если же налагаются и другие дополнительные условия, то вероятность события называют условной.

Опр4. Условной вероятностью Р_А(В) называют вероятность события В, вычисленную в предположении, что событие А уже наступило, и она равна:

Р_А(В)=Р(АВ)/Р(А).

Теорема 4.