Симплекс-метод экспериментальной оптимизации

Симплексом в n -мерном пространстве называют многогранник с (n +1)-й вершиной. Если расстояния между вершинами симплекса одинаковы, такой симплекс называют регулярным. Симплексный метод включает в себя следующие основные процедуры:

1. Линейное преобразование входных переменных с таким расчетом, чтобы изменение каждой из них на единицу одинаково сказывалось бы на изменении выходной переменной.

2. Построение регулярного симплекса и реализация опытов в вершинах симплекса.

3. Отбрасывание вершины с минимальным значением целевой величины и построение нового симплекса, который образуется оставшимися вершинами исходного симплекса и новой вершиной, получаемой зеркальным отображением отброшенной вершины относительно противоположной ей -мерной грани исходного симплекса. Координаты этой новой вершины рассчитываются по формуле: ,

где − номер отброшенной вершины.

4. Проведение эксперимента в вершине и возврат к п. 3. Если оказывается, что выходная переменная в новой вершине приняла значение меньшее, чем в остальных вершинах симплекса, то следует возвратиться к предыдущему симплексу. Во избежание зацикливания в качестве отбрасываемой выбирают вершину, в которой выходная переменная имеет величину, следующую по порядку за наихудшей вершиной симплекса. Аналогично следует поступать, если новая вершина выходит за пределы симплекса.

5. Если при перемещении симплекса за шагов некоторая вершина сохраняет свое положение, то симплекс совершит оборот относительно этой вершины. Это означает достижение области оптимума. Другим условием достижения оптимума является выполнение неравенства: , где e – малая величина (порог), – среднее значение выходной величины в вершинах симплекса.

К числу достоинств симплексного метода наряду с экономичностью по числу опытов и простотой вычислений следует отнести также возрастание эффективности метода с ростом числа входных переменных, устойчивость выделения направления движения, поскольку оно определяется только соотношением целевых величин, а не их абсолютными значениями.

Графическая иллюстрация симплексного метода при двух входных переменных приведена на рис.5. Здесь поверхность отклика задается линиями уровня.

Рис. 5. Схема последовательного симплексного метода