Операции над нечеткими множествами

Операция вложения. Пусть Ì , - ФП, соответственно, Го­во­рят, что содержится в ( включает В), т. е. , если вы­полнено неравенство £ (рис. 1.3).

Пример 1.4:

Для операции вложения справедливы следующие свойства: рефлексив­ность, симметричность, транзитивность.

Операция пересечения. Пересечением НМ называется НМ с функцией при­надлежности

, (1.4)

где логическая операция конъюнкции. Пересечение - наибольшее НМ, содержащееся одновременно в и в (рис. 1.4).

Пример 1.5:

Операцияобъединения. ОбъединениемНМ (читается: объединяется с ) на­зывается НМ (рис. 1.5) с ФП вида

, (1.5)

где логическая операция дизъюнкции.

Пример 1.6:

;

Операция дополнения (отрицания). Дополнением (отрицанием) НМ называется НМ (рис. 1.6) с ФП вида

. (1.6)

В системе вы- полняются законы: идемпотентности, коммутативности, ассоциативности,

абсорбции (поглощения), дистрибу-

тивности, де Моргана, двойного

отрицания.

Не выполняется закон комплемен­тарности, т. е.

(рис. 1.6). Система об­разует так называемую полную псевдобулеву ал­гебру [1], [8], [ 9].

Замечание. Система четкого степенного множества об­разует булеву ал­гебру.

Кроме указанных существует еще неограниченно много операций над НМ. Определим наиболее важные из них с практической точки зрения.

Операцияконцентрирования. Концентрированием НМ называется НМ А ² с ФП вида

. (1.7)

Операциярастяжения. Растяжением НМ называется НМ А ^0.5 с ФП вида . - сужает диапазон определения (уточняет); - расширяет диапазон оп­ределения НМ ( - "более чем ", - "почти что ").

Операцияалгебраического произведения. Алгебраическим произведением НМ А и В называется НМ АВ с ФП вида

Пример 1.7: ;

(ср. с примером 1.5).

Операцияалгебраического суммирования. Алгебраическим суммированием НМ А и В называется НМ А+В с ФП вида

Операциямодуля разности . ФП вида

(1.8)

Замечание. Основное свойство четкого множества, ближайшего к нечет­кому (1.1):

(1.9)

Пример 1.8. Проверим утверждение (1.9). Пусть тогда из оп­ределения чет­кого множества, ближайшего к нечеткому (1.1), Из (1.8) Из (1.6), (1.4)

Операция прямого произведения. Пусть - НМ в U и V соответ­ст­венно. Прямым произведением НМ A и B в называется НМ вида

(1.10)