Типи кристалічних решіток

ВСТУП

Створення нових багатофункціональних матеріалів з незвичайними властивостями є завданням і характерною рисою сучасної науки і техніки. Кінець ХХ-століття був ознаменований відкриттям високотемпературних провідників, фулерон, нанотрубок і квазікристалів. Квазікристали (КК) є новий клас матеріалів, які характеризуються далеким порядком в розташуванні атомів і симетрією, яка заборонена класичної кристалографії кристалів. Відкриття квазікристалів поставило принципові питання про організацію, стабільності і властивостей конденсованого стану матеріалів. Дослідження квазікристалів істотно розвинули уявлення про кластерну періодичну структуру, дали суттєвий поштовх розвитку n-мірної кристалографії, фізики і хімії твердого тіла, виявили новий набір фізико-хімічних властивостей. Дослідження особливостей структури і властивостей дає нові можливості для розвитку нових технологій, які змінюють сучасний світ. За відкриття квазікристалів було присуджено Нобелівську премію в галузі хімії.

Структура кристалів

Геометрично правильна зовнішня форма кристалів, що утворюються в природних або лабораторних умовах, наштовхнула вчених ще в сімнадцятому столітті на думку, що кристали утворюються за допомогою регулярного повторення в просторі одного і того ж структурного елементу, так би мовити, цеглинки (рис. 1.1). При зростанні кристала в ідеальних умовах форма його протягом всього зростання залишається незмінною, як якби до зростаючого кристалу безперервно приєднувалися б елементарні цеглинки. Зараз ми знаємо, що такими елементарними цеглинками є атоми або групи атомів. Кристали складаються з атомних рядів, періодично повторюваних в просторі і утворюють кристалічну решітку.

У вісімнадцятому столітті мінералогами було зроблено важливе відкриття. Виявилося, що індекси (знайдені певним способом, описаним нижче), що визначають положення в про-просторі будь-якої грані кристала, суть цілі числа. Гаюї [1-2] показав, що це можна пояснити розташуванням ідентичних частинок в ряди, періодично повторювані в просторі. У 1824 р Зібер [3] з Фрайбурга припустив, що елементарні складові кристалів («цеглинки», атоми) є маленькими сферами. Він запропонував емпіричний закон міжатомной сили з урахуванням як сил тяжіння, так і сил відштовхування між атомами, що було необхідно для того, щоб кристалічна решітка була стабільним рівноважним станом системи ідентичних атомів.

Мабуть, найбільш важливою датою в історії фізики твердого тіла є 8 червня 1912 У цей день в Баварської Академії наук в Мюнхені слухався доповідь «Інтерференціярентгеновскіх променів». У першій частині доповіді Лауе виступив з викладом елементарної теорії дифракції рентгенівських променів на періодичному атомному ряду. У другій частині доповіді Фрідріх і Кніппінг повідомили про перших експериментальних спостереженнях дифракції рентгенівських променів в кристалах.

Цією роботою було показано, що рентгенівські промені є хвилями, так як вони здатні дифрагувати. Робота незаперечно довела також, що кристали складаються з пе-періодичних рядів атомів. З цього дня почалася та фізика твердого тіла, який ми знаємо її сьогодні. У роки, непосредственно наступні за 1912 роком, у фізиці твердого тіла було зроблено багато важливих піонерських робіт. Першими кристалічними структурами, визначеними У. Л. Брегг в 1913 р за допомогою рентгенівського дифракційного аналізу, були структури кристалів KCl, NaCl, КВг і Кl.

Рис. 1.1. Связь внешней формы кристаллов с формой элементарных структурных элементов. Структурные элементы одинаковы в случаях, изображенных слеза и справа, но развитие получают разные грани.

Рис 1.2 Модель кальциту(СаСО₃) по Гюй­генсу.

Поняття трансляції.

Визначимо ідеальний кристал як тіло, що складаються з атомів, розташованих в просторової решітці так, що можна вести три вектора основних трансляцій a, b, c, що володіють наступною властивістю. При розгляді цієї атомної решітки з довільної точки r решітка має той же вигляд, що і при розгляді з точки r^¢:

r^¢ = r +n₁ a+ n₂ b+ n₃ c, (1.1)

де n₁, n₂, n_{3 - Довільні цілі числа (рис.1.3) Основні вектори трансляцій іноді позначаються} a ₁, a ₂, a ₃.

Рис. 1.3. Частина кристала (в двомірному зображенні), побудованого з гіпотетичних білкових молекул. (Ми обрали білкову молекулу тому, що ця молекула, ймовірно, не має своєї власної симетрії.) Атомне розташування в кристалі має однаковий вигляд як при розгляді з точки r ', так і при розгляді з точки r.через це вектор Т, що зв'язує r ’ і r можна виразити як (ціле) кратне векторів а і Ь. Наприклад, на цьому малюнку Т = -а + 3b. Вектори а і b є векторами примітивних трансляцій двомірної решітки.

сукупність точок r, обумовлена співвідношенням (1.1) при різних значеннях чисел n₁,n₂, п₃ визначає кристалічну решітку, яка була регулярне періодичне розташування точок в просторі. Кристалічна решітка є математичною абстракцією: кристалічна структура утворюється лише тоді, коли з кожною точкою решітки пов'язаний (однаковим чином) базис. Таким чином, логічно записати, що

решітка + базис = кристалічна структура.

Кристалічна решітка називається примітивною, а вектори а, b, с - векторами примітивних трансляцій, якщо дві будь-які точки r і r ',при спостереженні з яких атомне розташування має однаковий вигляд, завжди задовольняють співвідношенню (1.1) при відповідному виборі цілих чисел n _1, n _2, п _3. Вектори примітивних трансляцій ми будемо часто вибирати в якості ортів кристалографічних осей координат,хоч на ряду з цим будуть використовуватися і інші (не примітивні) трійки векторів, коли вони більш зручні і користуватися ними простіше. Вектори а, b, с, обрані в якості ортов кристалографічних осей, утворюють три суміжних) кута елементарного паралелепіпеда.Якщо точки решітки знаходяться тільки в кутах паралелепіпеда, то такий паралелепіпед називається примітивним. Операцію переміщення кристала як цілого паралельно самому собі, що описується вектором

Т = n ₁ а + п ₂ b + n ₃ з = n ₁ а ₁ + п ₂ а ₂ + n ₃ а _2,

будемо називати трансляцією. Вектор трансляції кристалічної решітки пов'язує будь-які дві точки решітки.

Типи кристалічних решіток

Кристалічні решітки можуть бути приведені в самосовмещеніе не тільки в результаті трансляційних перетворень, а й в результаті різних точкових операцій симетрії. Типовою операцією симетрії є обертання навколо осі, що проходить через якусь точку решітки. Існують решітки мають осі обертання першого, другого, третього, четвертого і шостого порядку, які відповідають поворотам на кути 2π, 2π / 2, 2π / 3, 2π / 4, і 2π / 6.

Осі обертання інакше називаються поворотними осями. Вони позначаються цифрами 1, 2, 3, 4 і 6. Раніше вважалося що не існує кристалічних решіток, що мають поворотні осі п'ятого та сьомого порядку [4].Молекула сама по собі може мати поворотну вісь симетрії будь-якого порядку, на відміну від нескінченного періодичного кристалічної решітки. Кристал може складатися з молекул, кожна з яких має поворотну вісь п'ятого порядку, але кристалічна решітка не матиме цю вісь. На рис. 1.4 показано, що відбувається якщо спробувати створити періодичну решітку з віссю п'ятого порядку: п'ятикутники не підходять один до одного впритул.

Рис. 1.4 У кристалічній решітці не може існувати вісь симетрії п'ятого порядку: неможливо за допомогою п'ятикутників заповнити весь простір решітки без проміжків.

Таким чином, видно, що не можна поєднувати п'ятикратну точкову симетрію з необхідною трансляційній симетрією. На рис.1.5 показано, що в кристалах не може бути поворотною осі сьомого порядку

.

Рис. 1.5. Малюнок Кеплера («Harmo-nicemundi», 1619), з якого видно, що в кристалічній решітці не може існувати вісь симетрії сьомого порядку [5].