Релятивистская механика

1.5.1. Имеется прямоугольный треугольник, у которого катет a = 5,00 м и угол между этим катетом и гипотенузой α = 30°. Найти в системе отсчета K', движущейся относительно этого треугольника со скоростью = 0,866· c вдоль катета а:

а) соответствующее значение угла α';

б) длину l' гипотенузы и ее отношение к собственной длине.

1.5.2. Найти собственную длину стержня, если в K -системе отсчета его скорость = c/2, длина l = 1,00 м и угол между ним и направлением движения = 45°.

1.5.3. Стержень пролетает с постоянной скоростью мимо метки, неподвижной в K -системе отсчета. Время пролета = 20 нс в K -системе. В системе же отсчета, связанной со стержнем, метка движется вдоль него в течение ' = 25 нс. Найти собственную длину стержня.

1.5.4. Две частицы, двигавшиеся в лабораторной системе отсчета по одной прямой с одинаковой скоростью , попали в неподвижную мишень с промежутком времени = 50 нс. Найти собственное расстояние между частицами до попадания в мишень.

1.5.5. Два стержня одинаковой собственной длины l ₀ движутся навстречу друг другу параллельно общей горизонтальной оси. В системе отсчета, связанной с одним из стержней, промежуток времени между моментами совпадения левых и правых концов стержней оказался равным . Какова скорость одного стержня относительно другого?

1.5.6. Стержень AB, ориентированный вдоль оси x K -системы отсчета, движется с постоянной скоростью в положительном направлении оси x. Передним концом стержня является точка A, задним — точка B. Найти собственную длину стержня, если в момент t _A координата точки A равна x _A, а в момент t _B координата точки B равна х _B.

1.5.7. Стержень AB, ориентированный вдоль оси x K -системы отсчета, движется с постоянной скоростью в положительном направлении оси x. Передним концом стержня является точка A, задним — точка B. Через какой промежуток времени надо зафиксировать координаты начала и конца стержня в K ‑системе, чтобы разность координат оказалась равной собственной длине стержня.

1.5.8. K' -система отсчета движется в положительном направлении оси x K -системы со скоростью V относительно последней. Пусть в момент совпадения начал координат O и O' показания часов обеих систем в этих точках равны нулю. Найти в K -системе скорость перемещения точки, в которой показания часов обеих систем отсчета будут все время одинаковы. Убедиться, что .

1.5.9. В двух точках K -системы произошли события, разделенные промежутком времени . Показать, что если эти события причинно связаны в K -системе (например, выстрел и попадание в мишень), то они причинно связаны и в любой другой инерциальной K' -системе отсчета.

1.5.10. В плоскости xy K -системы отсчета движется частица, проекции скорости которой равны и . Найти скорость ' этой частицы в K’ -системе, которая перемещается со скоростью V относительно K ‑системы в положительном направлении ее оси x.

1.5.11. Две частицы движутся навстречу друг другу со скоростями = 0,50 c и = 0,75 c по отношению к лабораторной системе отсчета. Найти:

а) скорость, с которой уменьшается расстояние между частицами в лабораторной системе отсчета;

б) относительную скорость частиц.

1.5.12. Две релятивистские частицы движутся под прямым углом друг к другу в лабораторной системе отсчета, причем одна со скоростью , а другая со скоростью . Найти их относительную скорость.

1.5.13. Частица движется в K -системе со скоростью под углом к оси x. Найти соответствующий угол в K' -системе, перемещающейся со скоростью V относительно K -системы в положительном направлении ее оси x, если оси x и x' обеих систем совпадают.

1.5.14. K' -система перемещается с постоянной скоростью V относительно K -системы. Найти ускорение a' частицы в K' -системе, если в K -системе она движется со скоростью и ускорением a по прямой:

а) в направлении вектора V;

б) перпендикулярно вектору V.

1.5.15. Какую работу надо совершить, чтобы увеличить скорость частицы с массой m от 0,60 c до 0,80 c? Сравнить полученный результат со значением, вычисленным по нерелятивистской формуле.

1.5.16. Найти скорость частицы, кинетическая энергия которой T = 500 МэВ и импульс p = 865 МэВ/ c, где c - скорость света.

1.5.17. Частица массы m движется вдоль оси x K -системы отсчета по закону , где d - некоторая постоянная, c - скорость света, t - время. Найти силу, действующую на частицу в этой системе отсчета.

1.5.18. Нейтрон с кинетической энергией T = 2 mc ², где m — его масса, налетает на другой, покоящийся нейтрон. Найти в системе их центра масс:

а) суммарную кинетическую энергию нейтронов;

б) импульс каждого нейтрона.

1.5.19. Частица массы m в момент t = 0 начинает двигаться под действием постоянной силы F. Найти скорость частицы и пройденный ею путь в зависимости от времени t.

1.5.20. Релятивистская ракета выбрасывает струю газа с нерелятивистской скоростью u, постоянной относительно ракеты. Найти зависимость скорости ракеты от ее массы m, если в начальный момент масса ракеты равна m ₀.