Визначення переміщень в статично визначуваних системах

Для заданих схем балок і рам (рис 5.1 і 5.2) з розмірами та навантаженнями наведеними в таблиці 8, які відповідають шифру студента за формулою Мора або за правилом Верещагіна О.М., необхідно:

Побудувати зігнуту вісь балки та обчислити кут повороту на консолі.

Для схеми ломаного бруса (рами) визначити лінійне переміщення поперечного перерізу А і кут повороту поперечного перерізу В.

Таблиця 8

Рисунок 5.1

Рисунок 5.2

Приклад.

Для заданої схеми балки (рис. 5.3) побудувати зігнуту вісь і підрахувати кут повороту в точці D, EI_z - const.

1. Будуємо епюру моментів від дії зовнішнього навантаження М_F.

SM _A = 0,

R_B×10 + 8 - 15×12 - 2×2×11 = 0,

R_B = 21,6 кH.

SM _B = 0,

R_A×10 - 8 + 15×2 + 2×2×1 = 0,

R_A = - 2,6 кH.

SY = 0,

-2,6 + 21,6 -2×2 - 15 = 0.

0≤ x ₁ ≤10 м

M_F=-8-2,6×x₁,

x₁=0, M_F=-8 кНм,

x₁=5м, M_F=-21 кНм,

x₁=10м, M_F=-34 кНм.

0≤ x ₂ ≤2 м

M_F=-15х₂-2x₂(х₂/2) =-15х₂- ,

x₂=0, M_F= 0,

x₂=1м, M_F=-16 кНм,

x₂=2м, M_F=-34 кНм.

2. Побудова лінії прогину. Для цього визначаємо перемі-щення у вертикальному напрямку для характерних точок С і D.

а) в точці С прикладаємо силу F = 1 (рис. 5.3а). Від дії цієї сили будуємо епюру .

R_A = R_B = 0,5.

0≤ x ₃ ≤5 м

= 0,5x₃,

x₃=0, = 0, x₃=5м, =2,5 м.

Рисунок 5.3

Визначаємо переміщення в точці С шляхом перемноження епюри M_F на на одноіменних ділянках за правилом Верещагіна з використанням таблиці 1.

б) в точці D прикладаємо силу F=1 (рис. 5.3б). Від дії цієї сили будуємо епюру .

SМ_В = 0, ,

0≤ x ₄ ≤10 м 0≤ x ₅ ≤2 м

= -0,2 x₄, = -1 x₅,

x₄ = 0, = 0, x₅ = 0, = 0,

x₄ = 10 м, = -2 м, x₅ = 2 м, = -2 м.

Перемножуючи епюри M_F та визначаємо переміщення в точці С.

Для побудови зігнутої осі балки проводимо лінію, паралельну осі балки і в обраному масштабі відкладаємо отримані значення переміщень в точках С і D. Необхідно пам¢ятати, якщо переміщення зі знаком мінус, то воно відкладається в напрямку, протилежному одиничній силі, а на опорах А і В вертикальні переміщення дорівнюють нулю. З¢єднавши плавною кривою відкладені чотири точки отримаємо зігнуту вісь балки (рис. 5.3в).

3. Обчислюємо кут повороту в точці D. Для цього прикладаємо одиничний момент М = 1 в цієї точці і будуємо епюру (рис. 5.3г).

SМ_В = 0, - ,

0≤ x ₆ ≤10 м 0≤ x ₇ ≤2 м

= -0,1 x₆, = -1.

x₆ = 0, = 0,

x₆ = 10, = -1,

Помноживши епюри M_F та , визначаємо кут повороту перерізу в точці D.

Знак «плюс» вказує на те, що поворот перерізу в точці D здійснюється за годинниковою стрілкою, тобто в напрямку одиночного моменту.

Приклад.

Для заданої схеми рами (рис.5.4) підрахувати лінійне переміщення поперечного перерізу А і кут повороту поперечного перерізу В.

Послідовність розв’язку цієї задачі така, як і попередньої.

1. Визначаємо опорні реакції і будуємо епюру від зовнішнього навантаження M_F (рис.5.5)

∑X=0,

H_c - 70·5 = 0, H_c = 350 кН.

∑ М _c =0,

-R_B·5+70·5·2,5+70·3,6·1,8 = 0, R_В = 266 кН.

Рисунок 5.4 ∑Y=0,

-R_C-70·3,6-266 = 0, R_C = 518 кН.

0≤x ₁ ≤3,6м

0≤x ₂ ≤5м

M_F=-266·x₂,

0≤ y ₁ ≤5 м

Рисунок 5.5

2. Обчислюємо лінійне вертикальне переміщення в точці А (Рис.5.6).

Для цього в точці А прикладаємо вертикальну силу F = 1 і від ії дії будуємо епюру . Отриману епюру помножуємо на епюру M_F на однойменних елементах.

SM _C = 0,

R_B×5 - 1×3,6 = 0, R_B = 0,72.

SY = 0,

-R_C + 0,7 + 1 = 0, R_C = 1,72.

0≤ x ₁ ≤3,6 м

= 1×х₁,

x₁=0, = 0,

x₁=3,6м, =3,6 м.

0≤ x ₂ ≤5 м

=0,72×х₂,

x₂=0, = 0,

x₂=5м, =3,6 м.

Рисунок 5.6

Знак ²мінус² вказує на те, що переміщення перерізу в точці А відбувається в напрямку, протилежному одиничній силі.

3. Визначаємо кут повороту поперечного перерізу в точці В. Для цього в точці В прикладаємо момент М = 1 і будуємо епюру (рис. 5.7). Для визначення кута повороту перерізу перемножаємо епюри M_F та .

SM _C = 0,

R_B×5 - 1 = 0, R_B = 0,2.

S M _В = 0,

Н_C×5 - 0,2×5 + 1 = 0, Н_C = 0.

0≤ x ₁ ≤5 м

= +1 – 0,2×х₁, x₁=0, = +1,

x₁=5м, = 0 м.

Тобто поворот перерізу на опорі В відбувається за годинниковою стрілкою.

Рисунок 5.7