Модуль 3. Решение типичных проблемных ситуаций оценивания

Задание 13 (=15)

Проблемная ситуация №1.

При решении п. а) были получены уравнения . Ответ приведен такой . В п. б) верный отбор был произведён по числовой окружности, на которой верно были выделены точки, соответствующие корням уравнений . Эксперт поставил 0 баллов. Обоснование: грубая ошибка при решении простейших триг. уравнений. Согласны ли Вы с этой оценкой?

Решение проблемной ситуации №1.

Эксперт был неправ. В данном случае вполне применим критерий выставления 1 балла: «Обоснованно получен верный ответ в пункте а или в пункте б

ИЛИ

получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов — пункта а и пункта б».

А именно, верный ответ в пункте б) получен, а обоснован он верным сведением задачи к простейшим уравнениям и верным отбором по числовой окружности.

Дополнительные обстоятельства. А если бы ученик сделал кучу ошибок при решении уравнений , а не нечто похожее на описку ?

Ответ: Формально, см. выше, так как для получения ответа в б) эта куча ему не понадобилась. Содержательно, надо смотреть конкретную работу, иначе обсуждение сведётся к версиям ответа на вопрос «А если бы он увёз патроны?»

Кстати, вот экстремальный и заметно вымышленный, случай. Получены , они никак не решены, ответа на а) просто нет, а верный ответ на б) получен. Ставим 1 балл по критериям.

Проблемная ситуация №2.

При решении п. а) написано … и далее без ошибок до полного ответа. Эксперт поставил 0 баллов. Обоснование: ответ полностью не совпал с верным. Согласны ли Вы с этой оценкой?

Решение проблемной ситуации №2.

Эксперт был неправ. В данном случае вполне применим критерий выставления 1 балла: «Обоснованно получен верный ответ в пункте а или в пункте б

ИЛИ

получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов — пункта а и пункта б».

А именно, забыт или пропущен «минус» в «… ». Это небрежность, описка или крамольное незнание формулы корней квадратного уравнения? На самом деле, в такой общей ситуации, неизвестно: опять же нужна более полная конкретика. Всё же, если он до и после этой неточности полностью выполнил все шаги решения, показал надлежащее знание тригонометрии, получил ответ, «верный» по модулю своей вычислительной ошибки, то этот самый «минус» следует признать невнимательностью. Ведь то, на что в основном направлено это задание (умение решать тригонометрические уравнение и отбирать корни) продемонстрировано на хорошем уровне. Итак, 1 балл.

Дополнительные обстоятельства. А если бы ученик сделал кучу ошибок и написал, скажем, или если бы ошибки по невнимательности были бы допущены ещё и при составлении квадратного уравнения?

Ответ: См. критерии. Там сказано «…из-за вычислительной ошибки…», а не «из-за вычислительнЫХ ошибОК». Значит, в таких случаях 0 баллов.

Задание 14 (=16)

Проблемная ситуация №1.

Про п. а) в решении написано лаконично «Не получилось». П. б) обоснованно построен угол между прямой и плоскостью и получен верный ответ. Эксперт поставил 0 баллов. Обоснование: а) не доказан и поэтому вся конструкция в б) не обоснована. Согласны ли Вы с этой оценкой?

Решение проблемной ситуации №1.

Эксперт не прав. При решении п. б) допускается использование п.а).

Проблемная ситуация №2.

В п. а) доказательство неверное. П. б) сказано, что углом между прямыми является следующий угол, см. рис. Пояснения или обоснования отсутствуют. Дальнейшие вычисления и ответ верны. Эксперт поставил 1 балл. Обоснование: по критериям. Согласны ли Вы с этой оценкой?

Решение проблемной ситуации №2.

Эксперт не прав. За а) – никакого балла. В б), судя по постановке вопроса, получен верный ответ, но он не обоснован: не сказано по какой именно причине указанный на рис. угол является искомым. Оценка 0 баллов.

Проблемная ситуация №3.

В п. а) доказательство верное. В п. б) построения верны, вычисления длинны и утомительны, получен ответ . В нормативном документе «Критерии оценивания…» в результате решения получен ответ . Эксперт поставил 1 балл. Обоснование: по критериям. Согласны ли Вы с этой оценкой?

Решение проблемной ситуации №3.

Эксперт не прав. Угол - это угол, противолежащий катету 3 в треугольнике со сторонами 3,4,4. Его тангенс равен , а тангенс удвоенного угла равен . Значит, = . Оценка 2 балла.

Задание 15 (=17)

Проблемная ситуация №1.

В работе вместо верно решено неравенство Эксперт поставил 1 балл, обосновав это как описку при переписывании условия, при которой «имеется верная последовательность всех шагов решения». Согласны ли Вы с этой оценкой?

Решение проблемной ситуации №1. Эксперт прав.

Проблемная ситуация №2.

В работе после верно полученного рационального неравенства

использован метод интервалов, но «+» и «-» чередуются в ошибочном порядке. Далее всё верно. Эксперт поставил 1 балл, обосновав это как описку при расстановке знаков, при которой «имеется верная последовательность всех шагов решения». Согласны ли Вы с этой оценкой?

Решение проблемной ситуации №2. Эксперт неправ. Ошибка хоть и единственная, но НЕ вычислительная. По критериям – 0 баллов.

Проблемная ситуация №3.

В работе после неравенства , написано ; и далее получен ответ ; , см. Вариант 1, выше. Эксперт поставил 1 балл, обосновав это как автоматическую описку «раз , то и ». Согласны ли Вы с этой оценкой?

Решение проблемной ситуации №3.

Эксперт неправ. Ошибка хоть и единственная, но НЕ вычислительная. По критериям – 0 баллов. Кроме того, тут в ответ попали числа, при которых не определена одна из частей неравенства.

Задание 16 (=18)

Проблемная ситуация №1.

В части а) для доказательства параллельности прямых приведён примерно такой текст «если , то углы… и…равны, как накрест лежащие. А они действительно равны, так как … Ч.Т.Д». В части б) радиус спутан с диаметром, ответ в два раза больше, а вместо обратной теоремы Пифагора есть ссылка просто на теорему Пифагора. Эксперт поставил 1 балл, обосновав это как использовании второй позиции в критериях на 1 балл. Согласны ли Вы с этой оценкой?

Решение проблемной ситуации №1.

Ссылка на различие между прямой и обратной теоремой Пифагора вряд ли работает. В нынешних условиях, на объеме в 500 000 по-разному подготовленных участников, настаивать на точном различении этих теорем, видимо, бессмысленно. В части а) надо ещё проверить конкретный текст: если после доказанного равенства углов есть слова вроде «поэтому, следовательно, значит.. прямые параллельны», то логически неверное начало рассуждения допустимо отнести к изъянам владения русского языка и тогда поставить 2 балла. Но, скорее всего, эксперт прав – это 1 балл.

Проблемная ситуация №2.

В части а) равенство треугольников выведено из равенства сторон и углов, не прилежащих к этой стороне. Вычисления в п. б) верны, но обоснования содержат явные логические неточности типа приведенной выше в вопросе 1. Эксперт утверждает, что это – не критериальный случай: нельзя поставить ни 3, ни 2, ни 1 балл, а 0 баллов при верном ответе ставить невозможно. Согласны ли Вы с экспертом?

Решение проблемной ситуации №2.

По предъявленному описанию ситуации трудно принять окончательное решение. Понятно только, что это или 1 или 0 баллов. Если разделять мнение, что при наличии всех вычислений, приводящих к верному ответу, невозможно ставить 0 баллов, то тут следует выставить 1 балл.

Задание 17 (=19)

Проблемная ситуация №1.

В решении сюжетной задачи введены две переменные, найдена зависимость между ними, сказано, что надо найти наибольшее значение выражения от этих двух переменных. Более нет ничего. Эксперт поставил 1 балл, обосновав это как построение математической модели. Согласны ли Вы с этой оценкой?

Решение проблемной ситуации №1. Эксперт не прав. Это 0 баллов, так как нет исследование модели никак не начато.

Проблемная ситуация №2.

В той же ситуации, у исследуемой на экстремум функции верно был найден нуль производной и соответствующее значение функции. Ответ верен. Эксперт поставил 2 балл, сославшись на вторую позицию в критерии на 2 балла. Согласны ли Вы с экспертом?

Решение проблемной ситуации №2. Эксперт прав.

Проблемная ситуация №3.

Для условия «…долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга….» была построена модель, в которой выплаты (кроме последней) были одинаковыми. Все рассуждения были пошаговыми и числовыми. Ошибок в вычислениях нет. Ответ не совпал с верным ответом. Эксперт поставил 2 балла, обосновав это несовпадение, как ошибку в расчётах. Согласны ли Вы с экспертом?

Решение проблемной ситуации №3. Нет построена модель, совершенно не соответствующая условию задачи. Эта модель – из многочисленных подготовительных или диагностических работ и не имеет отношения к данной задаче. Хотя задача и решена, это – совсем другая задача. Оценка 0 баллов.

Модуль 4. Тренинги

ВАРИАНТ 1

а) Решите уравнение .

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .

Ответ: а) , ; , ; О , ; , ;

Ответ: б) ; ; .

В основании четырёхугольной пирамиды лежит прямоугольник со сторонами и . Длины боковых рёбер пирамиды , , .

а) Докажите, что — высота пирамиды.

б) Найдите угол между прямыми и .

Ответ: б) .

Решите неравенство . Ответ: ; .

Точка лежит на отрезке . Прямая, проходящая через точку , касается окружности с диаметром в точке и второй раз пересекает окружность с диаметром в точке . Продолжение отрезка пересекает окружность с диаметром в точке .

а) Докажите, что прямые и параллельны.

б) Найдите площадь треугольника , если и . Ответ: б) 30.

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 28 млн рублей
на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

Чему будет равна общая сумма выплат после полного погашения кредита, если наибольший годовой платёж составит 9 млн рублей?

Ответ: 80,5 млн рублей.

Найдите все значения , при каждом из которых система уравнений

имеет ровно два решения.

Ответ:.

а) Приведите пример четырёхзначного числа, произведение цифр которого
в 10 раз больше суммы цифр этого числа.

б) Существует ли такое четырёхзначное число, произведение цифр которого в 175 раз больше суммы цифр этого числа?

в) Найдите все четырёхзначные числа, произведение цифр которых в 50 раз больше суммы цифр этого числа.

Ответ: а) например, 2529; б) нет; в) Число 8655 и все числа, получаемые
из него перестановкой цифр (всего 12 чисел).

ВАРИАНТ 2, ЕГЭ-2015

а) Решите уравнение .

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .

Ответ: а) , ; , ; От , ; , ; Ответ: б) ; ; .

В основании четырёхугольной пирамиды лежит прямоугольник со сторонами и . Длины боковых рёбер пирамиды , , .

а) Докажите, что — высота пирамиды.

б) Найдите угол между прямыми и .

Ответ: б).

Решите неравенство .

Ответ:;.

Точка лежит на отрезке . Прямая, проходящая через точку , касается окружности с диаметром в точке и второй раз пересекает окружность
с диаметром в точке . Продолжение отрезка пересекает окружность с диаметром в точке .

а) Докажите, что прямые и параллельны.

б) Найдите площадь треугольника , если и .

Ответ: б).

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 17 млн рублей
на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

Чему будет равна общая сумма выплат после полного погашения кредита, если наибольший годовой платёж составит 3,4 млн рублей?