Операции с квадратными матрицами

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

1.Векторный анализ и аналитическая геометрия на плоскости:

-системы координат на плоскости;

-векторы и линейные операции над ними;

-проекция вектора на ось;

-разложение вектора на компоненты;

-скалярное произведение векторов, его свойства, физический и геометрический смысл;

-преобразование координат вектора при повороте системы координат. Основные задачи аналитической геометрии;

-прямая линия на плоскости;

-направляющий вектор.

-общее уравнение прямой, различные формы уравнения прямой. Параллельность и пер- пендикулярность прямых;

-уравнение окружности;

-основные задачи на прямую и окружность;

-кривые второго порядка: эллипс, гипербола, парабола. Канонические уравнения кривых второго порядка.

2.Векторный анализ и аналитическая геометрия в пространстве:

-векторы в пространстве;

-векторное произведение векторов, его свойства, физический и геометрический смысл;

-смешанное произведение трех векторов, его свойства и геометрический смысл;

-уравнение плоскости;

-уравнение прямой в пространстве;

-уравнение сферы;

-основные задачи на плоскость, сферу и прямую в пространстве;

-поверхности второго порядка. Канонические уравнения поверхностей второго порядка.

3.Матрицы и детерминанты:

-обобщение понятия «вектор»;

-векторы-столбцы и векторы-строки. Матрицы;

-произведение строки на столбец;

-произведение матрицы на столбец;

-произведение матриц;

-свойства линейных операций над матрицами;

-определитель (детерминант) матрицы. Свойства детерминанта. Способы вычисления де- терминанта;

-вычисление детерминанта раскрытием по строке (столбцу);

-единичная матрица;

-обратная матрица. Вычисление элементов обратной матрицы;

-вырожденная матрица. Ранг матрицы.

4.Системы линейных алгебраических уравнений:

-связь матриц с системами линейных алгебраических уравнений (СЛАУ);

-матрица и расширенная матрица СЛАУ;

-вырожденные и невырожденные СЛАУ;

-теорема Кронекера - Капелли;

-решение невырожденной СЛАУ обращением матрицы;

-решение невырожденной СЛАУ методом Крамера;

-решение вырожденных СЛАУ;

-однородные СЛАУ.

5.Элементы теории множеств:

-понятие множества;

-точечные и числовые множества;

-основные операции над множествами;

-декартово произведение множеств;

-соответствие между множествами;

-мощность множества.

6.Числовые множества. Комплексные числа:

-натуральные, целые и рациональные числа;

-действительные числа;

-комплексные числа;

-алгебраические операции с комплексными числами;

-модуль и аргумент комплексного числа;

-геометрическое представление комплексных чисел;

-формула Эйлера;

-понятие о функции комплексного переменного.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Типовые задачи

1.Операции с векторами на плоскости.

Представлены векторы и .

Определить:

1.1. Длины этих векторов.

1.2. .

1.3. Скалярное произведение данных векторов и угол между ними.

2.Операции с векторами в пространстве

Представлены векторы и .

Определить:

1.4. Длины этих векторов;

1.5. ;

1.6. Скалярное произведение данных векторов и угол между ними.

3.Векторное и смешанное произведение векторов.

1.7. Определить объём параллелепипеда, построенного на векторах (1;0;1), (4;-1;-1), (1;0;1).

4.Прямые и окружности на плоскости.

1.8. Составить уравнение прямой, представленной на рисунке.

1.9. Определить угловой коэффициент «k» и величину отрезка «b», отсекаемого прямой на оси O y.

1.10.Представлены уравнения прямых:
А. x + y +1=0. Б. x+y =0. В.2 x + y +2=0.Г. y =2 x.

Какие из заданных прямых параллельны?

1.11.Составить уравнение прямой, если известно, что прямая проходит через точку М(1;1) и имеет угловой коэффициент к =1.

1.12.Определить длину отрезка, заключенного между точками пересечения прямой

3 у +4 х -12=0 с осями координат.

1.13.Определить угол между прямыми х –2 у –2=0 и у =–2 х +3.

1.14.Составить уравнение прямой, проходящей через точки и .

1.15.Определить, с какими из прямых: 1. у =3. 2. у =- х. 3. х =5. 3. у =2 х пересекается окружность х ² + у ²=25.

Определить координаты центра и радиус окружности х² +у² –4х+8у–16=0.

1.16.Составить уравнение окружности, проходящей через точку М (-1;1) и центр которой находится в точке С (-4;5).

1.17.Определить координаты центра окружности, заданной уравнением .

1.18.Составить уравнение касательной к окружности в точке (3;–1).

1.19.Составить каноническое уравнение окружности, представленной на рисунке.

5.Кривые второго порядка.

1.20.Определить координаты фокусов эллипса 25 x ²+9 y ²=900.

1.21.Определить координаты фокуса и уравнение директрисы параболы х ² =4 у.

1.21.Определить, какая кривая задается уравнением:

А. .

Б. .

В. .

С. .

6.Прямые, плоскости и сферы.

1.22.Определить, какое из уравнений: А.2 x -3 y + z +1=0.Б. x +2 y -6=0.В. x +3 y =0 определяет плоскость, параллельную оси OZ.

1.23.Определить координаты нормального вектора к плоскости 2 x -3 y + z -6=0.

1.24.Определить взаимное расположение прямых и .

7.Поверхности второго порядка.

1.25.Определить, какая поверхность задаётся уравнением:

А. .

Б. .

В. .

8.Определители (детерминанты).

Вычислить определители:

А. .

Б. .

В. .

Операции с квадратными матрицами.

Представлены матрицы: и .

Определить:

1.25.5 А – В.

1.26.3 А^T - 2 B.

1.27 .АВ.