Элементы общей теории способов астрономических определений

2.2.1. Общие принципы определения географических координат
и азимутов направлений из наблюдений светил

Из геометрии небесной сферы следует, что географическая широта f, направление меридиана NS и местное звездное время s в некоторый момент наблюдения T в каком-либо пункте земной поверхности могут быть определены, если для этого момента определено положение зенита Z на небесной сфере (рис. 2.1). Первая теорема сферической астрономии гласит: высота полюса мира равна широте места наблюдения и равна склонению зенита

h_P = f = d_z.

l₂ - l₁ = s₂ - s₁,

где местное звездное время равно прямому восхождению зенита, s = a_z. Направление небесного меридиана и полуденной линии, необходимое для получения азимута направления, определяет большой круг, проходящий через полюс мира и зенит.

Положение зенита на небесной сфере Z(a_z, d_z) в заданный момент времени T может быть определено:

- зенитными расстояниями минимум двух светил Z_s1 = Z₁ и Z_s2 = Z₂ с известными экваториальными координатами s₁(a₁, d₁) и s₂(a₂, d₂);

- как пересечение по крайней мере двух вертикалов, проходящих через эти светила, то есть азимутами светил A₁ и A₂.

В зависимости от измеряемых величин, все способы астрономических определений географических координат делятся на две основные группы: зенитальные и азимутальные.

В зенитальных способах широта и время определяются по измеренным зенитным расстояниям светил, или по разностям зенитных расстояний светил, или из наблюдений групп звезд на одинаковом зенитном расстоянии.

Азимутальные способы астрономических определений позволяют определять время и широту по азимутам двух звезд, или по измеренным разностям азимутов звезд, или по наблюдениям групп звезд в одном вертикале.

В геодезической астрономии горизонтальные координаты светил (A, Z) считаются измеряемыми, экваториальные координаты светил (a, d) – известными, а географические координаты пункта наблюдения и азимут направления (f, l, а) – определяемыми. Связь между определяемыми, известными и измеряемыми величинами осуществляется через решение параллактического треугольника. Выражение

cos Z = sin f sin d + cos f cos d cos t (2.1)

есть уравнение связи зенитальных способов астрономических определений, а выражение

сtg A = sin f ctg Z – tg d cos f / sin t (2.2)

В выражениях (2.1), (2.2) часовой угол вычисляется по формуле

t = T_н + u - a,

где T_н – момент наблюдения; u – поправка часов.

Принцип определения азимута направления на земной предмет следует из рис. 2.2:

a = A + Q,

где Q = М - M* - измеренный горизонтальный угол светила, равный разности отсчетов по горизонтальному кругу на земной предмет M и на светило М*;

A - азимут светила, вычисляемый по формуле (2.2). Для его вычисления надо отнаблюдать в момент Т_н светило с известными координатами (a, d), причем поправка часов u в этот момент и широта места наблюдения f должны быть известны.

В рассматриваемом способе азимут светила А и горизонтальный угол Q постоянно меняются вследствие суточного движения небесной сферы. Это обстоятельство затрудняет контроль ошибок измерений и вычислений, поэтому данный подход применим только в приближенных способах астрономических определений. От недостатка такого подхода избавлен следующий принцип определения азимута:

а = М - M_N, (2.3)

где M_N – отсчет по горизонтальному кругу северного направления меридиана, называемый местом севера. Место севера определяется из уравнивания наблюдений. Суточное движение небесной сферы не изменяет M_N и отсчет по горизонтальному кругу на земной предмет М, поэтому здесь возможен контроль измерений и вычислений. Формула определения азимута (2.3) используется
в точных способах астрономических определений.

2.2.2. Зенитальные способы астрономических определений

В основе зенитальных способов астрономических определений лежит уравнение связи (2.1). В этом уравнении два неизвестных – широта f и поправка часов u, которые можно определить как совместно, так и раздельно. Для совместного определения координат необходимо измерить зенитные расстояния Z и моменты наблюдения T_н как минимум двух светил и решить систему уравнений вида (2.1). Однако в уравнение связи определяемые величины входят в виде тригонометрических функций, и решение системы уравнений сложно. Поэтому данную систему линеаризуют и решают задачу по методу наименьших квадратов. В любом случае, как при совместном определении (f, u), так и при раздельном их определении, решение задачи облегчается, если известны приближенные значения f₀, u₀ (например, из приближенных определений). Вся дальнейшая задача состоит в определении малых поправок Df, Du к этим приближенным величинам.

Линеаризованное уравнение связи выглядит следующим образом:

-z + cos A_iDf + sin A_i cos f₀Du + (z_0i - z_iизм) = v_zi, (2.4)

где z – инструментальная систематическая погрешность зенитного расстояния;

z_0i – зенитное расстояние, вычисленное по формуле (2.1) приближенными значениями f₀, u₀;

z_iизм – измеренное зенитное расстояние;

v_zi – поправка в вероятнейшее значение зенитного расстояния;

i = 1, 2, …, n;

n – число измерений.

Выражение (2.4) есть уравнение поправок зенитальных способов астрономических определений. С геометрической точки зрения уравнение поправок представляет собой зависимость между условным z_0i и астрономическим z_i зенитными расстояниями любой произвольной точки небесной сферы.

Если в качестве приближенных широты и долготы (поправки часов) взять геодезические широту B и долготу L, то выражения для поправок Df, Du в приближенные координаты примут вид:

Df = f - B = x;

Du cos f = Dl cos f = (l – L) cos f = h,

где x, h – астрономо-геодезические уклонения отвесной линии в плоскостях меридиана и первого вертикала, соответственно.

С принятыми обозначениями уравнение поправок (2.4) записывается в виде:

-z + cos A_i x + sin A_i h + (z_0i - z_iизм) = v_zi.

Из решения системы таких уравнений непосредственно получаются значения составляющих астрономо-геодезического уклонения отвесной линии в пункте наблюдения.

2.2.3. Выгоднейшие условия определения времени и широты
по измеренным зенитным расстояниям светил

Выгоднейшими условиями наблюдений называются условия, при которых для данных средств измерений достигается максимальная точность определяемых величин.

На результаты измерения зенитного расстояния Z светила влияют случайные и систематические ошибки DZ; момент Т наблюдения светила определяется с ошибкой DT, содержащей также случайную и систематическую части. Широта и долгота пункта наблюдения известны или определяются с некоторыми ошибками Df и Dl. Также содержат ошибки Da, Dd экваториальные координаты a и d наблюдаемых звезд. При соблюдении выгоднейших условий влияние этих ошибок на вычисление определяемой величины минимально.

Для определения выгоднейших условий продифференцируем уравнение связи зенитальных способов (2.1):

- sin ZdZ = (cos f sin d – sin f cos d cos t)df + (sin f cos d - cos f sin d cos t)dd - cos f cos d sin t(dT + du - da).

Из параллактического треугольника имеем:

- sin Z cos A = cos f sin d - sin f cos d cos t;

sin Z sin A = cos d sin t;

sin Z cos q = sin f cos d- cos f sin d cos t.

Сокращая полученные равенства на sin Z, найдем выражение для дифференциала зенитного расстояния:

dZ = cos Adf + cos f sin A(dT + du - da) – cos qdd. (2.5)

Решая уравнение (2.5) последовательно относительно df и du, а затем, заменяя дифференциалы конечными разностями DZ, Df, DT, Du при условии, что координаты звезды безошибочны (da = 0 и dd = 0), получим дифференциальные формулы ошибки широты и поправки часов:

Df = DZ/ cos A – cos f tg A(DT + Du); (2.6)

Du = -DT + DZ/(cos f sin A) – Df/ (cos f tg A). (2.7)

Анализ формулы (2.6) позволяет сделать вывод, что выгоднейшими условиями для определения широты f по измеренным зенитным расстояниям являются наблюдения их в меридиане, то есть когда азимут равен 0^о или 180^о. В меридиане ошибки момента наблюдения DT и поправки часов Du не сказываются на определении широты, и ошибка в широте равна ошибке измерения зенитного расстояния. При наблюдении звезды к югу от зенита Df_S = DZ_S, к северу Df_N = - DZ_N. Следовательно, при наблюдении звезд парами симметрично относительно зенита систематические ошибки измеренного зенитного расстояния будут компенсироваться. Наивыгоднейшим условиям определения широты по измеренным зенитным расстояниям удовлетворяет способ Талькотта.

Определим выгоднейшие условия определения долготы по измеренным зенитным расстояниям светил. Из анализа формулы (2.7) следует, что влияние ошибок Df и DZ на определение долготы будет минимальным в первом вертикале (А = 90^о или А = 270^о).

При наблюдении западной звезды Du_W = -DT_W + DZ_W/ cos f, восточной – Du_Е = -DT_Е + DZ_Е/ cos f, то есть при наблюдении звезд в первом вертикале парами симметрично относительно зенита ошибки измерения зенитного расстояния будут компенсироваться. Наивыгоднейшим условиям определения долготы по измеренным зенитным расстояниям удовлетворяет способ Цингера.

2.2.4. Азимутальные способы астрономических определений

Решение задачи совместного определения широты f, долготы l (времени u) и азимута А (направления меридиана M_N) может быть получено не менее чем из трех уравнений вида (2.2) по данным наблюдений не менее трех звезд. Для решения задачи необходимо уравнение связи (2.2) привести к линейному виду, также как и в зенитальных способах астрономических определений.

Результатом линеаризации уравнения связи азимутальных способов являются уравнения поправок двух видов, для измеренного горизонтального направления и измеренного горизонтального угла:

DM_N + sin A_0i ctg z_i Df + (sin f₀ – cos f₀ ctg z_i cos A_0i)Dl + l_i = v_i; (2.8)

Da – sin A_0i ctg z_i Df - (sin f₀ – cos f₀ ctg z_i cos A_0i)Dl + l_i¢ = v_i¢, (2.9)

где v_i, v_i¢ - поправки измеренного горизонтального направления и горизонтального угла, соответственно,

DM_N – поправка предварительного значения места севера M_N0;

Da – поправка предварительного значения азимута a₀ направления на земной предмет;

A_0i – предварительное значение азимута направления на светило, вычисленное с приближенными значениями f₀, l₀ по формуле (2.2);

l_i = (A_0i + M_N0) – N_iизм – разность вычисленного и измеренного горизонтальных направлений;

l_i¢ = (a₀ – A_0i) – Q_iизм – разность вычисленного и измеренного горизонтального угла.

Астрономический азимут светила есть разность между астрономическим азимутом направления на земной предмет a и горизонтальным углом Q:

A_i = a – Q_i = (a₀ + Da) – (Q_iизм + v_i¢). (2.10)

С учетом (2.10) уравнение (2.9) примет вид

A_0i = A_i – (l – l₀) sin f + (Dl cos f₀ cos A_0i – Df sin A_0i) ctg z_i. (2.11)

С геометрической точки зрения уравнение поправок азимутальных способов есть уравнение связи между условным (A_0i) и астрономическим (A_i) азимутом одного и того же направления.

Для направления на земной предмет уравнение запишется в виде

a₀ = a – (l – l₀) sin f + (Dl cos f₀ cos a₀ – Df sin a₀) ctg z. (2.12)

Если при вычислениях вместо условных координат f₀ и l₀ принять геодезические координаты пункта B и L, то есть

Df= f – B = x; Dl cos f = (l – L) cos f = h,

то уравнение (2.12) примет вид

a_г = a – (l – L) sin B + (h cos a_г – x sin a_г) ctgz, (2.13)

где a_г и a – геодезический и астрономический азимуты направления на земной предмет, соответственно.

В этом случае наблюдения будут автоматически редуцированы к геодезическому зениту, и из обработки будут получены значения геодезического азимута направления на земной предмет a_г и астрономо-геодезических составляющих уклонения отвесной линии x и h. Формула (2.13) есть уравнение Лапласа. Его используют для определения геодезического азимута из наблюдений астрономических азимутов и координат. Полученный геодезический азимут a_г в этом случае называют азимутом Лапласа.

2.2.5. Выгоднейшие условия определения азимута, времени и широты по измеренным горизонтальным направлениям светил

Для обоснования выгоднейших условий определения координат используется уравнение связи азимутальных способов астрономических определений:

ctg A sin t - sin f cos t + tg d cos f = 0. (2.14)

Дифференцируя формулу (2.14) по переменным A, f и t, заменяя дифференциалы dA, df и dt ошибками DA, Df и Dt, получаем выражение для ошибки азимута:

DA = cos q cos d(DT + Du)/ sin Z – sin ADf/ tg Z. (2.15)

Минимальное значение коэффициентов при (DT + Du) и Df бывает при наблюдении близполюсных звезд, у которых d» 90^о, а А» 180^о. Этим условиям удовлетворяет Полярная звезда. Если выбирать звезды по зенитным расстояниям, то влияние ошибок на определение азимута будет минимально на горизонте. Поэтому при определении азимута по Солнцу выгоднейшие условия для наблюдений будут при восходе и заходе Солнца.

Выгоднейшие условия определения времени (долготы) в азимутальных способах определяются из анализа формулы для Du, выведенной из выражения (2.15):

Du = -DT + sin Z DA/ cos d cos q – cos Z sin ADf/ cos d cos q. (2.16)

Из формулы (2.16) следует, что время (долготу) выгоднее всего определять из наблюдения звезд в меридиане, парами, симметрично относительно зенита, на небольших зенитных расстояниях.

Аналогично можно определить выгоднейшие условия определения широты в азимутальных способах, из анализа формулы

Df = - cos d cos q(Du + DT)/ cos Z sin A + tg Z DA/ sin A. (2.17)

Из выражения (2.17) следует, что для определения широты азимутальными способами необходимо наблюдать звезды в первом вертикале, парами, симметрично относительно зенита, на малых зенитных расстояниях.