КУСОЧНО-ЛИНЕЙНАЯ ИНТЕРПОЛЯЦИЯ

При кусочно-линейной интерполяции вычисления дополнительных точек выполняются по линейной зависимости.

Для этого используется функция linterp (VX, VY, x). Для заданных векторов VX и VY узловых точек и заданного аргумента x функция linterp (VX, VY, x) возвращает значение функции при ее линейной аппроксимации. Графически это означает просто соединение узловых точек отрезками прямых. При экстраполяции используются отрезки прямых, проведенных через две крайние точки.

Пример

Пусть экспериментально получена амплитудная характеристика усилителя (таблица 7.1)

Таблица 7.1

В программной среде «Mathcad» исходная функция (U_вых=f(U_вх)) записывается в виде матрицы [2x8]:

Далее производится сортировка значений функции по возрастанию значений аргумента, если в таблице такая сортировка не произведена. Для этого обращаемся к встроенным функциям f(x), (например, на стандартной линейке).

Записываем:

V:=

Открываем окно f(x) и выбираем в разделе категория функций – «сортировка», а в разделе имя функции – «сортировка по аргументу» (csort (v, o)).

После щелчка на кнопке «ок» получим запись:

,

далее вставляем имя матрицы:

V:= csort (V,0)

Далее присваиваем значениям аргумента значения из первого столбца:

,

а значениям функции значения второго столбца:

Теперь можно провести кусочно-линейную интерполяцию.

Записываем:

W(x):=

Открываем окно встроенных функций. В разделе «категория функций» указываем название «интерполяция», а в разделе «имя функции» – «линейная» («linterp»). После щелчка по клавише «ок» появляется запись:

Вводим в скобки последовательно X,Y,x:

W(x):= linterp(X,Y,x)

Далее по правилам построения графиков строим зависимость W(x) = f(x) (рисунок 7.1).

Рисунок 7.1

СПЛАЙН-ИНТЕРПОЛЯЦИЯ

Часто хорошие результаты дает сплайн-аппроксимация отрезками кубических полиномов, проходящих через три смежные узловые точки. Коэффициенты полиномов рассчитываются так, чтобы непрерывными были первая и вторая производные. Линия, которую описывает сплайн-функция, напоминает по форме гибкую линейку, закрепленную в узловых точках (откуда и название аппроксимации: splaine – гибкая линейка). Для осуществления сплайн-аппроксимации система Mathcad предлагает следующие функции:

cspline (VX, VY) – возвращает вектор VS вторых производных при приближении в опорных точках отрезками кубических полиномов;

pspline (VX, VY) – возвращает вектор VS вторых производных при приближении к опорным точкам отрезками парабол;

lspline (VX, VY) - возвращает вектор VS вторых производных при приближении к опорным точкам отрезками прямой;

interp (VS, VX, VY, x) –возвращает значение функции y(x) для заданных векторов VS, VX, и значения x.

Сплайн-аппроксимация проводится в два этапа. Вначале с помощью функций cspline, pspline или lspline отыскивается вектор вторых производных функции y(x), заданной векторами VX и VY ее абсцисс и ординат. Затем для каждой точки вычисляется y(x) с помощью функции interp.

Сплайн интерполяции даже при небольшом количестве точек (5-6) дает хорошие результаты:

- график функции оказывается плавным;

- точки его перегиба незаметны.

Проведем сплайн-интерполяцию для рассмотренного выше примера.

V:= csort (V,0)

Этапы записи таблицы в виде матрицы и сортировки аналогичны кусочно-линейной интерполяции.

Далее записываем:

S:=

Открываем встроенные функции f(x) и в разделе «категория функций» выбираем «интерполяция», а в разделе «имя функции» - «cspline». После щелчка по клавише «ОК» появится

S:=cspline(, )

Вводим под знак cspline аргумент Х и функцию Y.

S:=cspline(X, Y)

Далее записываем:

W(x):=

Открываем встроенные функции f(x) и в разделе «категория функций» выбираем «интерполяция», а в разделе «имя функции» - «interp». После щелчка по клавише «ОК» появляется:

W(x):= interp(, , , ),

куда последовательно под знак функции вводятся обозначения S,X,Y,x.

W(x):= interp(S, X, Y, x).

Далее по правилам построения графиков строим в декартовой системе координат график функции W(x)= f(x) (рисунок 7.2).

Рисунок 7.2