Задачу о надежности

Пусть конструируется электронный прибор, состоящий из трех основных компонентов. Все компоненты соединены последовательно, поэтому выход из строя одной из них приводит к отказу всего прибора. Надежность (вероятность безотказной работы) прибора можно повысить путем дублирования каждого компонента. Конструкция прибора позволяет использовать запасных блоков для каждого j-того компонента, т.е. каждый компонент может содержать до блоков, соединенных параллельно. Общая стоимость прибора не должна превышать С долларов. Если j-тый компонент имеет штук соединенных параллельно блоков, то его надежность составляет и стоимость . Требуется определить количество блоков в каждом j-том компоненте , при котором надежность прибора максимальна, а стоимость прибора не превышает заданной величины С.

Построение ММ. По определению, надежность F прибора, состоящего из N последовательно соединенных компонентов, каждый из которых включает параллельно соединенных блоков, равна произведению надежности компонент. Тогда ММ имеет вид:

(7)

(8)

, (9)

Из физического смысла задачи следует, что , >0 для всех допустимых .

Введем дополнительную переменную - количество средств, израсходованных на дублирование компонент 1,2,… j-1. Тогда можно записать:

(10)

(11)

Из (10) следует: . Тогда с учетом (9) область допустимых значений будет иметь вид , а рекуррентные соотношения Беллмана принимают вид:

(12).

(13)

Покажем применение рекуррентных соотношений Беллмана для решения задачи (7)-(9), решаемых в порядке . Проводя преобразования, аналогичные преобразованиям задачи о загрузке рюкзака, получим:

Здесь , есть область изменения при фиксированном .