Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Одномерный элемент с кусочно-линейными базисными функциямиРассмотрим как определяются кусочно-линейные базисные функции при решении одномерной задачи на отрезке . Разобьем этот отрезок узлами на конечные элементы , , – длина (шаг сетки). Каждому внутреннему узлу ставится в соответствие кусочно-линейная функция . Для граничных узлов , базисные функции имеют вид , . Базисные функции на элементе также называют функциями формы. Например, на рис. 1 представлены функции формы на отрезке для равномерной сетки из трех элементов. Аппроксимируемая функция представляется в виде , где коэффициенты находятся из решения системы линейных алгебраических уравнений. Важнейшими являются следующие свойства функции форм: 1. Функция равна единице в узле и нулю во всех других узлах. 2. Функция отлична от нуля только для элементов, содержащих узел . Выясним физический смысл коэффициентов . Рассмотрим один конечный элемент . На элементе ненулевыми будут две базисные функции и (см. рис. 2, пунктиром показаны части функции, лежащих вне элемента), поэтому . Решение должно удовлетворять уравнению в узлах, то есть , . Если подставить и в выражение для получим , . То есть при таком выборе базисных функций, когда базисная функция равна единице в одном узле и нулю во всех других узлах, неизвестные коэффициенты являются значениями функции в узлах , то есть .
Пример Решить краевую задачу методом конечных элементов , . Прежде всего запишем интегральную формулировку для данного уравнения с помощью метода взвешенных невязок. Разбиваем отрезок на элементов с числом узлов . Число базисных функций равно . Невязка . Запишем сначала условие равенства нулю невязки в общей форме и, интегрируя по частям, понизим порядок производной под знаком интеграла . Понижение порядка дифференцирования под знаком интеграла – обычная процедура за счет которой можно ослабить требования на гладкость базисных функций. После интегрирования по частям от функций требуется только непрерывность базисных и весовых функций. В методе взвешенных невязок весовая функция выбирается равной базисной , . В первом слагаемом заменять на сумму не будем (это слагаемое уйдет позже за счет граничных условий) . Кусочно-линейные базисные функции удовлетворяют требованию гладкости, так как они непрерывные. Слева выносим коэффициенты за знак интеграла. Получим , где . Вводя обозначения , , , , , , получим систему линейных алгебраических уравнений , , . Заметим, что входящие в аппроксимирующие уравнения определенные интегралы могут быть получены простым суммированием их вклада по каждому элементу . Вклад интеграла по элементу с узлами и можно вычислить в общей форме. Причем формула для однотипных элементов будет одна и та же. На элементе отличными от нуля функциями будут только функции , (рис. 2), то есть, если , то на . Оценим вклад произвольного элемента в сумме . Получим , если , , , , , , . , . , , , . Элементная матрица для элемента имеет вид Вычислив компоненты матрицы элемента простым суммированием по всем элементам, получим матрицу . Процесс формирования глобальной матрицы системы и глобального вектора правых частей в методе конечных элементов называется ансамблированием (или сборкой). Матрицу системы принято называть матрицей жесткости. Запишем вид системы, например, для трех элементов и четырех узлов. Предположим, что все элементы имеют равную длину , тогда матрица жесткости приобретает вид , . Вычислим вклад элемента в вектор правых частей (отличными от нуля на элементе будут вклады при , ) , . Заметим, что в точке и не равны нулю только базисные функции и . Элементные векторы правых частей для первого элемента, для внутреннего элемента и для последнего элемента имеют вид (ненулевые значения стоят в позиции ) , , . Для примера из трех элементов после сложения всех элементных векторов, получим глобальный вектор вида . Значения производных в первом и последнем элементе вектора правых частей неизвестны, но далее вместо первого и последнего уравнений используем уравнения граничных условий , . Для симметричной матрицы системы граничные условия следует вносить следующим образом. Отметим, что до внесения граничных условий получаемая матрица системы вырождена. Учет граничных условий с сохранением симметрии матрицы системы. Пусть в МКЭ получена СЛАУ с симметричной матрицей и необходимо учесть условие . Преобразование системы уравнений представляет собой двухшаговую процедуру. Пусть, например, известно значение ; преобразование сводится тогда к следующему: 1. Все коэффициенты пятой строки матрицы, за исключением диагонального, приравниваются к нулю при и . Диагональный коэффициент приравнивается к единице . Пятая компонента вектора заменяется на значение . 2. Из компонент вектора правых частей, кроме пятой компоненты, вычитается произведение пятого столбца матрицы на значение , затем пятый столбец матрицы (кроме диагонального элемента) обнуляется: , , , .
|