Линейные неоднородные уравнения

Структура общего решения линейного неоднородного уравнения, т.е. уравнения с правой частью:

,

определяется следующей теоремой.

Если - частное решение неоднородного уравнения, а -фундаментальная система решений соответствующего однородного уравнения, то общее

решение линейного неоднородного уравнения имеет вид ; иными словами, общее решение неоднородного уравнения равно сумме любого его частного решения и общего решения соответствующего однородного уравнения.

Следовательно, для построения общего решения неоднородного уравнения надо найти одно его частное решение (предполагая уже известным общее решение соответствующего однородного уравнения).

Метод вариации произвольных постоянных. Этот метод применяется для отыскания частного решения линейного неоднородного уравнения -го порядка как с переменными, так и с постоянными коэффициентами, если известно общее решение соответствующего однородного уравнения.

Метод вариации заключается в следующем. Пусть известна фундаментальная система решений соответствующего однородного уравнения. Тогда частное решение неоднородного уравнения следует искать в виде

,

где функции определяются из системы уравнений

( -правая часть данного уравнения).

Для уравнения второго порядка соответствующая система имеет вид

Решение этой системы находим по формулам

; ,

в силу чего можно сразу определить по формуле

здесь - вронскиан решений и .

Пример. Решить краевую задачу

, .

Приведем решение краевой задачи с помощью|посредством| программного комплекса MathCad: