Дифференциальные уравнения высших порядков

Основные понятия

Дифференциальным уравнением - го порядка называется уравнение вида

.

Решением такого уравнения служит всякая раз дифференцируемая функция , которая обращает данное уравнение в тождество, т.е.

.

Задача Коши для этого уравнения состоит в том, чтобы найти решение уравнения, удовлетворяющее условиям , , …, при ,где , , , …, -заданные числа, которые называются начальными данными, или начальными условиями.

Краевая задача для этого уравнения состоит в том, чтобы найти решение уравнения, удовлетворяющее граничным условиям. Эти условия (число которых не должно превышать порядка уравнения) задаются не в одной точке, а на концах некоторого промежутка.

Функция называется общим решением данного дифференциального уравнения - го порядка, если при соответствующем выборе произвольных постоянных эта функция является решением любой задачи Коши (краевой задачи), поставленной для данного уравнения.

Всякое решение, получаемое из общего решения при конкретных значениях постоянных , называется частным решением этого уравнения.

Линейным дифференциальным уравнением - го порядка называется уравнение вида

.

Здесь функции , , …, и заданы и непрерывны в некотором промежутке .

Данное уравнение называется линейным неоднородным, или уравнением с правой частью. Если же , то уравнение называется линейным однородным. Однородное уравнениес той же левой частью, что и данное неоднородное, называется соответствующим ему.