Сфера использования (применения) математических моделей САПР и описание канонического уравнения метода конических элементов

Обзор современных систем автоматизированного проектирования (САПР).

Система автоматизированного проектирования - автоматизированная система, реализующая информационную технологию выполнения функций проектирования, представляет собой организационно-техническую систему, предназначенную для автоматизации процесса проектирования, состоящую из персонала и комплекса технических, программных и других средств автоматизации его деятельности. Также для обозначения подобных систем широко используется аббревиатура САПР.

Цели создания и задачи.

В рамках жизненного цикла промышленных изделий САПР решает задачи автоматизации работ на стадиях проектирования и подготовки производства.

Основная цель создания САПР - повышение эффективности труда инженеров, включая:

- сокращения трудоёмкости проектирования и планирования;

- сокращения сроков проектирования;

- сокращения себестоимости проектирования и изготовления, уменьшение затрат на эксплуатацию;

- повышения качества и технико-экономического уровня результатов проектирования;

- сокращения затрат на натурное моделирование и испытания.

Достижение этих целей обеспечивается путем:

- автоматизации оформления документации;

- информационной поддержки и автоматизации процесса принятия решений;

- использования технологий параллельного проектирования;

- унификации проектных решений и процессов проектирования;

- повторного использования проектных решений, данных и наработок;

- стратегического проектирования;

- замены натурных испытаний и макетирования математическим моделированием;

- повышения качества управления проектированием;

- применения методов вариантного проектирования и оптимизации.

Обзор САПР

Традиционно, продукты САПР для машиностроения разделены на три класса: тяжелый, средний и легкий. Такая классификация сложилась исторически, и хотя уже давно идут разговоры о том, что грани между классами вот-вот сотрутся, они остаются, так как системы по-прежнему различаются и по цене, и по функциональным возможностям.

В результате сейчас в этой области имеется несколько мощных систем, своего рода "олигархов" мира САПР, стабильно развивающиеся продукты среднего класса и получившие массовое распространение недорогие "легкие” программы. Имеется и так называемая "внеклассовая прослойка общества”, роль которой выполняют различные специализированные решения.

Классы САПР. Тяжелые САПР

Компьютерная технология призвана не автоматизировать традиционно существующие технологические звенья (так как это обычно не дает какого-либо эффекта, за исключением некоторого изменения условий труда), а принципиально изменить саму технологию проектирования и производства изделий. Только в этом случае можно ожидать существенного сокращения сроков создания изделий, снижения затрат на весь жизненный цикл изделия, повышения качества изделий.

Прежде всего, применительно к созданию сложных изделий машиностроения, в основе организации компьютерной технологии лежит создание полного электронного макета изделия, так как именно создание трехмерных электронных моделей, адекватных реально проектируемому изделию, открывает колоссальные возможности для создания более качественной продукции (особенно сложной, наукоемкой продукции) и в более сжатые сроки.

В идеале в процессе проектирования и производства сложных и многокомпонентных изделий все участвующие в проектировании должны, работая одновременно и наблюдая работу друг друга, создавать сразу на компьютерах электронные модели деталей, узлов, агрегатов, систем и всего изделия в целом.

При этом одновременно решать задачи концептуального необходимо проектирования, всевозможных видов инженерного анализа, моделирования ситуаций, а также компоновки изделия и формирования внешних обводов. Не дожидаясь полного окончания разработки нового изделия, эту информацию следует использовать для технологической подготовки производства и производства как такового. Кроме того, необходимо автоматизировано управлять и всеми создаваемыми данными электронной модели (то есть структурой изделия), и самим процессом создания изделия, и к тому же иметь возможность управлять структурой процесса создания изделия.

Для реализации именно компьютерной технологии проектирования и производства должны применяться системы автоматизированного проектирования инженерного анализа и технологической подготовки производства (CAD/CAE/CAM) высшего уровня, а также системы управления проектом (PDM - Product Data Management).

Средний класс САПР

В мире САПР средний класс возник позднее двух остальных - в начале 90-х. До этого средствами трехмерного твердотельного моделирования обладали лишь дорогие тяжелые системы, а легкие программы служили для двумерного черчения. Средние САПР заняли промежуточное положение между тяжелым и легким классами, унаследовав от первых трехмерные параметрические возможности, а от вторых - невысокую цену и ориентацию на платформу Windows. Они произвели революционный переворот в мире САПР, открыв небольшим конструкторским организациям путь для перехода от двумерного к трехмерному проектированию. Важную роль в становлении среднего класса сыграли два ядра твердотельного параметрического моделирования ACIS и Parasolid, которые появились в начале 90-х годов и сейчас используются во многих ведущих САПР. Геометрическое ядро служит для точного математического представления трехмерной формы изделия и управления этой моделью. Полученные с его помощью геометрические данные используются системами CAD, CAM и САЕ для разработки конструктивных элементов, сборок и изделий. В настоящее время Parasolid принадлежит фирме EDS, а ACIS - компании Dassault, которые продают лицензии на их использование всем желающим. Таких желающих немало - эти ядра составляют основу более сотни САПР, а число проданных лицензий перевалило за миллион. Успех понятен - ведь использование готового ядра избавляет разработчиков системы от решения трудоемких задач твердотельного моделирования и позволяет сосредоточиться на пользовательском интерфейсе и других функциях. Впрочем, это не значит, что все САПР среднего класса построены на базе этих механизмов. Многие компании ценят независимость и предпочитают разрабатывать собственные "движки".

К среднему классу аналитики относят системы стоимостью порядка 5-6 тыс. долл. за рабочее место (цены в США). Для сравнения: у тяжелых САПР рабочее место обходится примерно в 20 тыс. долл., но в последнее время поставщики выпустили облегченные версии продуктов, которые стоят дешевле.

По прогнозу аналитической компании Daratech рост среднего класса будет продолжаться, и предполагается, что до 2008-го рынок будет увеличиваться на 11% в год. Причина такой положительной динамики состоит в активном притоке новых пользователей из обоих смежных лагерей - тяжелых и легких систем. Так, по мнению аналитиков, сейчас становится все больше производителей, недовольных слабой окупаемостью своих инвестиций в дорогие продукты и ищущих более дешевые варианты. С другой стороны, глобализация, нарастание конкуренции и спад мировой экономики заставляют малые и средние предприятия переходить c двумерных САПР на трехмерные, чтобы ускорить выпуск новых изделий в продажу и повысить их качество. Процесс перехода подстегивает улучшение совместимости между 2D - и 3D-системами и увеличение преимуществ САПР среднего класса для повышения производительности труда. У средних САПР сейчас существует обширный круг потенциальных потребителей, и они вольно или под давлением рынка будут вынуждены рано или поздно их внедрить. На руку "середнякам” играет и расширение функциональных возможностей этих продуктов. В результате у предприятий, которые хотят получить надежный инструмент для трехмерного моделирования, но могут обойтись без высокоразвитых средств тяжелых САПР, появились дополнительные варианты для выбора ПО. Ведь раньше поставщики утверждали, что средние САПР обладают 80% функций тяжелых продуктов, а их цена составляет всего 20% от стоимости дорогих систем. Теперь, считают аналитики из Daratech, по возможностям "середняки" приближаются к 90%, а по стоимости - к 50%.

Безусловно, даже этот 10% -ный разрыв нельзя сбрасывать со счетов. Например, предприятиям автомобильной и авиакосмической промышленности крайне необходим передовой функционал, присущий только "тяжеловесам”. Поэтому различие между этими двумя классами существует и сохранится в течение обозримого будущего, так как разработчики и тех и других систем не сидят сложа руки, а будут и впредь совершенствовать свои продукты.

Пионером в области средних САПР стала компания SolidWorks. В 1993 г. она представила одноименный продукт, обладающий трехмерным геометрическим ядром, который, по утверждению создателей, по возможностям приближался к механизмам твердотельного моделирования тяжелых систем, но стоил гораздо дешевле. Вскоре примеру первопроходца последовала фирма Solid Edge, выпустившая одноименную САПР, а затем и Autodesk. Она сначала разработала трехмерную программу Mechanical Desktop на базе двумерной AutoCAD, а затем создала новое ПО Inventor. Помимо этих систем на рынке есть немало других САПР среднего класса, например think3, Cadkey, Alibre. Есть среди них и российские разработки. Так, компания АСКОН продвигает систему КОМПАС на базе собственного геометрического ядра, а фирма "Топ Системы" - программу T-Flex на основе ядра Parasolid, принадлежащего UGS. Они также прошли длительный путь развития и обзавелись встроенными средствами поверхностного моделирования, управления документами (PDM), технологической подготовки производства (CAM) и т.д., но при этом стоят существенно дешевле зарубежных аналогов и изначально ориентированы на отечественные стандарты и приемы проектирования.

Легкие САПР

Программы данной категории служат для двумерного черчения, поэтому их обычно называют электронной чертежной доской. К настоящему времени они пополнились некоторыми трехмерными возможностями, но не имеют средств параметрического моделирования, которыми обладают тяжелые и средние САПР.

Первая чертежная система Sketchpad была создана еще в начале 60-х годов, а затем появилось немало других продуктов такого рода, использующих достижения компьютерной графики. Однако подлинный расцвет в этой области наступил лишь в 80-е годы с появлением персональных компьютеров. Вслед за снижением стоимости оборудования последовал обвал цен и на САПР.

Пионером в этой области стала компания Autodesk, которая в 1983 г. выпустила САПР для ПК под названием AutoCAD. Успех был феноменальным - уже в 1987 г. было продано 100 тыс. копий AutoCAD, а сегодня это число превышает четыре миллиона. В результате Autodesk удалось отхватить изрядную долю рынка САПР, вытеснив тяжеловесов из сегмента программ для двумерного черчения. Примеру первопроходца последовали и остальные игроки. Так, в 1984 г. фирма Bently представила программу Microstation, которая стала основным конкурентом AutoCAD'а. Кроме них сейчас существует множество других "легких" САПР, включая DataCAD одноименной компании, TurboCAD фирмы IMSI, SurfCAM от Surfware и другие. Эти продукты проще и дешевле (100 - 4000 долл.) тяжелых и средних САПР, поэтому пользуются спросом, несмотря на нынешний экономический спад. В результате "легкие" системы стали самым распространенным продуктом автоматизации проектирования, своего рода "рабочей лошадкой" мира САПР.

Кроме тяжелых, средних и легких САПР существуют специализированные САПР, промышленное проектирование, строительное проектирование (железобетон), архитектурное проектирование.

Выводы

По единодушному мнению аналитиков, мировой рынок САПР достиг зрелости. Он бурно развивался и рос на протяжении последнего десятилетия прошлого века. Но к 2000 г. все предприятия, которым были нужны САПР, обзавелись ими, и найти новых пользователей стало трудно. А когда на Западе начался экономический спад, рост рынка САПР замедлился: по оценке аналитической компании Daratech, в 1999 г. объем продаж систем CAD/CAM/CAE за год вырос на 11,1%, в 2000 г. - на 4,7%, в 2001 г. - на 3,5%, а в 2002 г. - на 1,3%. Одновременно прекратился и рост оборотов ведущих поставщиков САПР. В Daratech подсчитали, что в 2002 г. объем рынка САПР составил 6,2 млрд. долл. (расходы пользователей на ПО и услуги), в 2003 г. объем продаж сократился на 4,5%.

Итак, на рубеже веков для рынка САПР наступил переломный момент. В такой ситуации обычно происходит слияние компаний и поиск новых направлений для роста. Пример - покупка компанией EDS в 2001 г. двух известных разработчиков тяжелых САПР - Unigraphics и SDRC. Эта сделка произвела в сегменте САПР настоящий фурор. Правда, сейчас успех покупки вызывает сомнения, так как EDS собирается продавать подразделение UGS PLM, образованное слиянием Unigraphics и SDRC. Что касается поиска новых направлений - сейчас ведущие поставщики активно продвигают концепцию PLM (Product Lifecycle Management), подразумевающую управление информацией об изделии на протяжении всего его жизненного цикла. Внедрение PLM сулит предприятиям немало преимуществ, но влечет за собой расходы на закупку дополнительного ПО (например, систем управления инженерными данными - PDM) и реорганизацию проектных процессов.

Таким образом, развитие рынка САПР идет двумя путями - эволюционным и революционным. В свое время революционный переворот произвели первые САПР для ПК и системы среднего класса. Сейчас рынок развивается эволюционно: расширяются функциональные возможности продуктов, повышается производительность, упрощается использование. Но, возможно, вскоре нас ждет очередная революция. Аналитики из Cambashi считают, что это произойдет, когда поставщики САПР начнут использовать для хранения инженерных данных (чертежей, трехмерных моделей, списков материалов и т.д.) не файловые структуры, а стандартные базы данных SQL-типа. В результате инженерная информация станет структурированной, и управлять ею будет гораздо проще, чем теперь.

Сфера использования (применения) математических моделей САПР и описание канонического уравнения метода конических элементов.

Математическое моделирование и анализ объектов в САПР.

Особенности математических моделей на различных иерархических уровнях описания объектов. Показатели эффективности и требования к моделям, методам и алгоритмам анализа в САПР. Понятие об областях адекватности моделей. Классификация математических моделей по степеням детальности отображения свойств объекта, по характеру отображения свойств, по методам получения. Виды математических моделей. Методика получения моделей, применение методов планирования экспериментов и регрессионного анализа.

Численные методы анализа объектов. Численные методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Явные и неявные методы. Устойчивость вычислений и области предпочтительного применения методов. Пути повышения эффективности методов анализа.

Моделирование логических и функциональных схем дискретных устройств. Синхронное и асинхронное моделирование. Методы решения логических уравнений. Представление сложных и информационных систем в виде систем массового обслуживания. Организация событийного моделирования. Применение методов имитационного моделирования для анализа функционирования САПР.

Математические модели на микро-, макро - и метауровнях

Описания технических объектов должны быть по сложности согласованы с возможностями восприятия человеком и с возможностями ЭВМ оперировать описаниями моделей в процессе их преобразования при проектировании. Однако выполнить это требование в рамках некоторого единого описания, не расчленяя его на отдельные составные части, удается лишь для простых изделий. Как правило, требуется структурирование описаний и соответствующее расчленение представлений о проектируемых объектах на иерархические уровни и аспекты. Это позволяет распределять работы по проектированию сложных объектов между подразделениями проектной организации, что способствует эффективности и производительности труда проектировщиков ссылка на источники литературы.

Использование принципов блочно-иерархического подхода к проектированию структур математических моделей проектируемых объектов позволяет формализовать процесс их написания. Количество иерархических уровней при моделировании определяется сложностью проектируемых объектов и возможностью средств проектирования. Однако иерархические уровни большинства предметных областей можно отнести к одному из трех обобщенных уровней, называемых далее микро-, макро - и метауровнями ссылка на источники литературы.

В зависимости от места в иерархии описания математические модели делятся на ММ, относящиеся к микро-, макро - и метауровням.

Особенностью ММ на микроуровне является отражение физических процессов, протекающих в непрерывном пространстве и времени. Типичные ММ на микроуровне - дифференциальные уравнения в частных производных (ДУЧП). В них независимыми переменными являются пространственные координаты и время. С помощью этих уравнений рассчитываются поля механических напряжений и деформаций, электрические потенциалы и напряжения, давления и температуры и т.п. Возможности применения ММ в ДУЧП ограничены отдельными деталями, попытки анализировать с их помощью процессы в многокомпонентных средах, сборочных единицах, электронных схемах не могут быть успешными из-за чрезмерного роста затрат машинного времени и памяти.

На макроуровне используют укрупненную дискретизацию пространства по функциональному признаку, что приводит к представлению ММ на этом уровне в виде систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). В этих уравнениях независимой переменной является время t, а вектор зависимых переменных составляют фазовые переменные, характеризующие состояние укрупненных элементов дискретизированного пространства. Такими переменными являются силы и скорости в механических системах, напряжения и токи в электрических системах, давления и расходы жидкостей и газов в гидравлических и пневматических системах и т.п. Системы ОДУ являются универсальными моделями на макроуровне, пригодными для анализа как динамических, так и установившихся состояний объектов. Модели для установившихся режимов можно также представить в виде систем алгебраических уравнений. Порядок системы уравнений зависит от числа выделенных элементов объекта. Если порядок системы приближается к 10000, то оперирование моделью становится затруднительным и поэтому необходимо переходить к представлениям на метауровне ссылка на источники литературы.

На метауровне в качестве элементов принимают достаточно сложные совокупности деталей. Метауровень характеризуется большим разнообразием типов используемых ММ. Для многих объектов ММ на метауровне по-прежнему представляются системами ОДУ. Однако так как в моделях не описываются внутренние фазовые переменные элементы, а фигурируют только фазовые переменные, относящиеся к взаимным связям элементов, укрупненное представление элементов на метауровне означает получение ММ приемлемой размерности для существенно более сложных объектов, чем размерность ММ на макроуровне.

В ряде предметных областей удается использовать специфические особенности функционирования объектов для упрощения ММ. Примером являются электронные устройства цифровой автоматики, в которых возможно применять дискретное представление таких фазовых переменных, как напряжения и токи. В результате ММ становится системой логических уравнений, описывающих процессы преобразования сигналов. Такие логические модели существенно более экономичны, чем модели электрические, описывающие изменения напряжений и токов как непрерывных функций времени ссылка на источники литературы.

Применение тензорных представлений об объектах проектирования дает возможность использовать для получения ММ сложных технических систем методы диакоптики.

Исследование сложных систем по частям реализуется в диакоптических методах исследования. Отличие диакоптического подхода проектирования от блочно-иерархического заключается в том, что диакоптика основана на использовании структурных особенностей анализируемых схем и выражающих их матриц, а не на принятии каких-либо упрощающих допущений. В диакоптических методах производится расчленение математических моделей на части, исследуемые самостоятельно ссылка на источники литературы.

Расчленение математических моделей на части позволяет упорядочить и минимизировать количество обменов информацией между оперативной и внешней памятью при анализе сложных систем, а также выбирать для исследования каждой части наиболее выгодные режимы анализа. Эти обстоятельства делают диакоптические методы экономичными по затратам машинных времени и оперативной памяти ссылка на источники литературы.

Макромоделирование лежит в основе направления, связанного с рациональным выбором математических моделей элементов при построении математической модели системы. Макромоделирование реализует возможность использования при анализе одного и того же объекта нескольких моделей, различающихся сложностью, точностью и полнотой отображения свойств объекта, трудоемкостью требующихся вычислений и т.п.

При макромоделировании должны выполняться условия:

адекватности модели (выполнение данного условия требует от инженера учета целей решения каждой конкретной задачи и степени влияния параметров выделяемых элементов на результаты решения этой задачи);

большей экономичности создания макромоделей элементов и их дальнейшего использования по сравнению с решением задачи на основе полной математической модели (обычно это условие выполняется при использовании макромоделей для элементов типовых или, по крайней мере, часто встречающихся в данной системе).

Событийность анализа заключается в том, что при имитации процессов, протекающих в исследуемом объекте, в каждый момент модельного времени вычисления проводятся только для небольшой части математической модели объекта. Эта часть включает в себя те элементы, состояние которых на очередном временном шаге может измениться. Использование принципа событийности существенно повышает экономичность анализа на функционально-логическом и системном уровнях проектирования.

Рациональное использования эвристических способностей человека в интерактивных процедурах позволяет инженеру вмешиваться в ход вычислений и выбирать наиболее перспективные продолжения на основе эвристических оценок. Это выгодно во всех тех проектных процедурах, в которых следование только формальным критериям выбора дальнейших действий связано с чрезмерными затратами машинного времени. При исследовании сложных элементов и устройств автоматизации часто используют методы многовариантного анализа и теорию чувствительности.

Основными видами многовариантного анализа в задачах проектирования являются анализы чувствительности и статистический.

Цель анализа чувствительности - определение коэффициентов чувствительности, называемых также коэффициентами влияния:

aji = дYi/дxi; bji = ajixi_ном/Yi_ном

где a_ji и bji - абсолютный и относительный коэффициенты чувствительности выходного параметра yj к изменениям внутреннего параметра Xi; yi_ном и xi_ном - номинальные значения параметров yj и Xi. Результаты анализа чувствительности m выходных параметров к изменениям n внутренних параметров представляют собой mn коэффициентов чувствительности, составляющих матрицу абсолютной или относительной чувствительности ссылка на источники литературы.

Анализ чувствительности применяется, если параметры Х и Q можно считать непрерывными величинами, а параметры yj являются дифференцируемыми функциями своих аргументов Xi и qk_ном.система автоматизированное проектирование модель.

Результаты анализа чувствительности используются при решении таких важных задач, как параметрическая оптимизация, расчет допусков, оценка точности выходных параметров. Именно по значениям коэффициентов чувствительности разработчик отделяет существенно влияющие параметры от мало влияющих, определяет направления изменений внутренних параметров для улучшения выходных параметров, оценивает допустимые отклонения параметров Х и Q для выполнения точностных требований к параметрам Y ссылка на источники литературы.

В ряде случаев для получения результатов математических экспериментов используют метод приращений. Это основной метод анализа чувствительности в инвариантном МО САПР.

Метод приращений - есть метод численного дифференцирования зависимости

Y = F (X, Q).

Алгоритм метода приращений включает в себя (n + 1) - кратное обращение к модели для вычисления Y, где n - количество варьируемых параметров, т.е. таких параметров (или qk), влияние которых на Y исследуется. В первом варианте задаются номинальные значения аргументов и, следовательно, результатом обращения к модели будет номинальное значение Yном = (Y1ном,Y2ном,., Ymном) вектора Y. В очередном (i + 1) - м варианте среди оставшихся n вариантов задается отклонение. xi от номинального значения только по одному из варьируемых параметров. В результате выполнения (i + +1) - го варианта получают для вектора Y значение Yi = (y1i, y2i,., ymi), по которому оценивается очередной i-й столбец матрицы абсолютной чувствительности Ai = (Yi - Yном) /. xi. Любой из найденных коэффициентов aji легко пересчитать в коэффициент bji в соответствии с данными работы ссылка на источники литературы.

Основное достоинство метода приращений - его универсальность: метод применим к любым непрерывным математическим моделям.

Однако у метода приращений имеются и существенные недостатки: невысокая точность, что характерно для операций численного дифференцирования; сравнительно большая трудоемкость вычислений. Трудоемкость вычислений оценивается количеством обращений к модели, так как объем вычислений в алгоритмических моделях обычно велик и заметно превышает трудоемкость выполнения процедур по обработке результатов обращений к моделям. В методе приращений требуется n + 1 вариант обращения к модели ссылка на источники литературы.

Прямой и вариационный методы.

Эти методы анализа чувствительности менее универсальны, чем метод приращений, но позволяют повысить точность или снизить затраты машинного времени. Они основаны на интегрировании специальных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, относятся к специальному математическому обеспечению и применяются в подсистеме схемотехнического проектирования.