стержня на устойчивость

Задача 6. Проектный расчет центрально сжатого

Цель задания:

- выработка практических навыков в использовании теоретических знаний при расчетах на устойчивость сжатых стержней;

- освоение такого метода обучения, как самостоятельная работа при выполнении практических расчетов сжатых стержней на устойчивость.

Необходимые исходные знания студента:

- понятие устойчивости;

- формы равновесия сжатых стержней;

- критическая сила, критическое напряжение;

- влияние способа закрепления концов стержня на величину критической силы;

- гибкость стержня;

- формула Эйлера, формула Ясинского, пределы их применения;

- условие устойчивости;

- коэффициент продольного изгиба.

Приобретаемые умения и навыки:

- решать типовые задачи, связанные с расчетом на устойчивость сжатых стержней, а именно:

· определять положение главных центральных осей составного сечения;

· определять главные центральные моменты инерции;

· определять величину критической силы стержня любой гибкости;

· производить проверочный и проектировочный расчет на устойчивость сжатых стержней;

· пользоваться таблицами коэффициентов продольного изгиба;

- работать с учебной, справочной и нормативно-технической литературой;

- оформлять результаты своей работы в соответствии с действующими нормативными документами.

Стержень заданного сечения с жестким защемлением концов сжимается силой . (рис. 42). Длина стержня . Материал стержня сталь 15ХСНД, предел текучести , предел пропорциональности , модуль упругости , коэффициент запаса прочности .

Требуется: из расчета на устойчивость с помощью таблиц коэффициентов снижения допускаемых напряжений определить размеры сечения стержня; определить величину критической силы; определить фактический коэффициент запаса устойчивости.

Основные теоретические положения представлены в разделе 2.7. (стр. 67-71).

6.1. Определение размеров поперечного сечения колонны

Условие устойчивости можно записать в виде:

,

где – допускаемое напряжение;

– коэффициент продольного изгиба. Поскольку размеры сечения неизвестны, то неизвестен и коэффициент . При решении задачи с двумя неизвестными () используется метод последовательных приближений. При этом задается начальное значение одного из неизвестных параметров. Для первого приближения обычно принимается .

Для минимизации расчетов в каждом приближении геометрические характеристики сечения выражаются через один из определяемых размеров. Геометрические характеристики сечения определяются на основе известных формул (см. Приложение Б):

площадь поперечного сечения стержня

, откуда ;

минимальный момент инерции сечения стержня

;

минимальный радиус инерции .

1 приближение

Принимается начальное значение . Определяется необходимая площадь поперечного сечения

.

Тогда размер сечения

Радиус инерции

.

При определении гибкости стержня необходимо знать коэффициент приведения длины (см. Приложение В). Для колонны постоянного сечения с жестким защемлением концов коэффициент . Рассчитывается гибкость колонны:

.

По таблице коэффициентов продольного изгиба методом линейной интерполяции определяется величина , соответствующая фактической гибкости колонны. В столбце для сталей повышенного качества () (см. Приложение В) при берется значение , при значение . Тогда для фактической гибкости

.

Проверим выполнение условия устойчивости в первом приближении. Для этого вычислим рабочие напряжения первого приближения:

Из приведённых вычислений следует, что условие устойчивости выполняется, так как:

.

В этом случае недонапряжение составляет:

,

что недопустимо. Следовательно, необходимо второе приближение.

2 приближение

,

,

.

Гибкость колонны .

Методом линейной интерполяции определяется величина . Гибкости соответствует значение , при значение . Тогда для фактической гибкости

.

Проверим выполнение условия устойчивости во втором приближении:

Из приведённых вычислений следует, что условие устойчивости выполняется, так как:

.

В этом случае недонапряжение составляет:

,

поэтому необходимо третье приближение.

3 приближение

,

,

Гибкость колонны .

По таблице методом линейной интерполяции определяется

.

Условия устойчивости:

Из приведённых вычислений следует, что условие устойчивости выполняется, так как:

.

В этом случае недонапряжение составляет:

,

что в пределах допустимого.

За окончательные принимаются значения, полученные в последнем приближении, т.е. .

6.2. Определение величины критической силы

Для этого находится предельная гибкость стержня:

Так как , то расчет критической силы необходимо выполнять с применением формулы Ясинского:

,

где , , - постоянные параметры принимаются в зависимости от материала стержня. Согласно табл. В.1 приложения В принимаем =429 МПа, =1,52 МПа, =0. Тогда критическое напряжение

.

6.3. Определение коэффициента запаса устойчивости

.