Не являются суждениями

ПРЕДЛОЖЕНИЕ И СУЖДЕНИЕ

Структура языка в своих общих чертах воспроизводит структуру мысли. Словам и словосочетаниям в мышлении соответствуют понятия; мысленным содержанием предложений является суждение - более сложная форма мысли, для которой понятия служат лишь строительным материалом.

ЧТО ТАКОЕ СУЖДЕНИЕ

Суждение есть такая форма мысли, в которой что-либо утверждается или отрицается о существовании предметов и явлений, о связях между предметами и их свойствами или об отношениях между предметами.

Наличие утверждения или отрицания служит отличительной характеристикой суждения как особой формы мысли. Именно благодаря этому суждение обладает еще одним важным признаком: оно может быть истинным или ложным. Ни одна другая форма мысли не обладает этими особенностями. Когда мы пользуемся понятиями, произносим, например, слова “стол”, “ученик”, “Карелия”, мы ничего не утверждаем и не отрицаем относительно объектов, входящих в объемы этих понятий. Поэтому понятия не оцениваются как истинные или ложные. Но когда мы высказываем суждение, например, “Карелия находится в Азии”, мы уже что-то утверждаем о Карелии, и это утверждение может оказаться как истинным, так и ложным. В этом заключается величайшая ценность суждений для познания: именно в суждении выражается то истинностное значение, которое мы ищем, на которое опираемся в своей деятельности и в своих рассуждениях.

В языке суждения выражаются посредством повествовательных предложений.

Не являются суждениями

А) Вопросительные предложения, ибо не содержат в себе ни утверждения, ни отрицания, характерных для суждений. Например: “Студенты сделали домашнее задание?”, “Когда закончится зима?” - здесь нет ни утверждения, ни отрицания, поэтому вопрос и не оценивается как истинный или ложный, т.е. не выражает суждения.

Б) Восклицательные предложения, когда они выражают побуждение к действию или эмоциональное состояние. Например: “Какая хорошая погода!” или “Водители, соблюдайте правила дорожного движения!” - здесь ничего не утверждается и не отрицается, следовательно, здесь нет суждения.

В) Определения также не являются суждениями, т.к. они просто описывают свойства, которыми должно обладает понятие.

Далее, повествовательные предложения, которые выражают суждения, должны быть осмысленными. При установлении осмысленности предложения приходится полагаться на интуицию. Возьмем, например, предложение: “Восемь есть четное число”. Здесь имеется утверждение, следовательно, это предложение выражает суждение, и даже истинное. Теперь в этом предложении слово “восемь” заменим именем человека, например, Макар, получим: “Макар есть четное число”. Грамматическое строение сохранилось, но осмысленно ли получившееся предложение? Многие ученые считают, что такие предложения, как “Глубокая корова весело смеялась” или “Мама, ваш сын прекрасно болен - у него пожар сердца”, бессмысленны.

СТРОЕНИЕ ПРОСТОГО СУЖДЕНИЯ

Простым называется суждение, не содержащее логических связок: и, или, если …, то, и др.

Суждение утверждает или отрицает принадлежность предмету каких-либо свойств, состояний, видов активности, например: “Петрозаводск – столица Карелии”, “студенты психфака изучают логику”. Оно состоит из трех элементов: субъекта, предиката и связки.

Субъектом суждения называют понятие о предмете нашей мысли: о чем (о ком) мы мыслим, о чем мы судим? В приведенных примерах в качестве субъекта выступают понятия “Петрозаводск” и “студенты психфака ”.

Предикатом суждения называют понятие о признаке или состоянии, наличие или отсутствие которого отображается в суждении: что мы приписываем предмету нашей мысли или что мы отрицаем у него? В приведенных примерах предикатом являются понятия “столица” и “изучают логику”.

Субъект и предикат - это два понятия, входящие в состав суждения. Однако, просто высказав два каких-то понятия, мы еще не получим суждения. Их еще нужно связать, поставить в определенное отношение - только тогда они образуют новую форму мысли. Поэтому третьим необходимым элементом суждения является связка. В русском языке связка выражается словами “есть”, “суть”, “является ” или их временными и модальными формами. Иногда она заменяется тире, а часто и вовсе опускается, однако она всегда присутствует в суждении, ибо только связка вносит в суждение тот элемент утверждения или отрицания, без которого оно распадается на два безразличных друг другу понятия. В нашем случае в первом высказывание роль связки играет знак тире, во втором высказывание эта связка пропущена.

Субъект суждения принято обозначать буквой “S” (от лат. Subjectum), предикат — буквой “Р” (от лат. Praedicatum), и в обобщенном виде логическая структура простого суждения может быть представлена как “S есть Р” или “S не есть Р”. Во избежание ошибок при разнообразных манипуляциях с суждениями целесообразно формулировать связку в явном виде и представлять суждение в канонической форме, например, в суждении “Петрозаводск – столица Карелии”, нужно увидеть каноническую структуру: “Петрозаводск есть столица Карелии”. В высказывании “студенты психфака изучают логику” нужно увидеть каноническую структуру: “студенты психфака есть люди, изучающие логику”.

Обратите внимание на то, что членение суждения на субъект и предикат не совпадает с членением предложения на подлежащее и сказуемое, ибо в первом случае мы выделяем элементы мысли, а во втором - элементы ее языкового выражения. Грамматика говорит также о второстепенных членах предложения - дополнениях, обстоятельствах и т.д., логика от всего этого отвлекается. Например, в предложении “Маленькие дети быстро бегали по периметру площадки ” подлежащим будет слово “дети”, сказуемым — “бегали”, “маленькие” — определением, “быстро” - обстоятельством действия и т.д.. С точки зрения логики, в суждении, выражаемом данным предложением, всего лишь два понятия: “дети” является субъектом, а “бегали” - предикатом. Связка опущена и выражается согласованием слов.

Структура мысли всегда проще, чем структура выражающего его предложения. Это связано с тем, что мысли по своему строению приблизительно одинаковы у всех людей, а языки народов сильно отличаются в силу случайностей исторического развития: в одних языках есть артикль, в других - нет; в английской грамматике, по сути, нет деления существительных по родам, в русском - оно есть; в немецком языке обязательно присутствие в предложении вспомогательных глаголов, в русском языке мы обходимся без них и т.д.

ВИДЫ ПРОСТЫХ СУЖДЕНИЙ

По качеству

По качеству связки (“есть” или “не ес ть”) простые суждения разделяются на утвердительные и отрицательные. “ Пингвины живут в Антарктиде” — утвердительное суждение; “Пингвины не живут в Арктике” - отрицательное. Следует обратить внимание на то, что в отрицательных суждениях отрицание “не” стоит перед связкой. Отрицательные суждения нельзя смешивать с утвердительными суждениями, в которых предикатом является отрицательное понятие типа “несмелый”, “неумелый”, “невысокий” и т.п. Когда мы слышим: “Петр не глуп”, то далеко не всегда ясно, что имеется в виду - отрицательное суждение “Петр не есть глуп” или утвердительное суждение с отрицательным предикатом “Петр есть неглуп”. Но это — разные суждения, отождествление которых может приводить к логическим ошибкам.

По количеству

В зависимости от того, обо всем объеме субъекта идет речь в суждении или лишь о его части, суждения подразделяются на общие и частные. Это называется разделением суждений по количеству. Для указания количества суждения перед субъектом обычно ставится кванторное слово (или просто квантор):

А) все, всякий, каждый, ни один - для общих суждений (эти слова показывают, что в суждении речь идет обо всех предметах, включенных в объем субъекта); квантор всеобщности, "

Все пчелы имеют жало.

Б) некоторые, большинство, отдельные, существуют - для частных суждений (эти слова показывают, что в суждении речь идет лишь о некоторых предметах, входящих в объем субъекта). квантор существования $

Существуют книги с мягкой обложкой.

Иногда квантор не имеет явного языкового выражения и лишь подразумевается, но при выявлении логической структуры суждения его следует формулировать в явном виде.

Пример.

А) общее суждение: киты относятся к млекопитающим или все киты относятся к млекопитающим

Б) частное суждение: треугольник ВАС – равнобедренный или

существует треугольник АВС, который является равнобедренным.

Объединяя разделение суждений по качеству и количеству, мы получаем объединенную классификацию простых суждений, включающую в себя суждения четырех различных типов.

Общеутвердительные суждения: “Все S есть Р”, например: “Все школьники пишут в тетрадях”.

Общеотрицательные суждения (“Ни одно S не есть Р”), например: “Ни одна тетрадь не является книгой ”.

Частноутвердительные суждения: “Некоторые S есть Р”, например: “Некоторые книги имеют мягкую обложку”.

Частноотрицательные суждения: “Некоторые S не есть Р”, например: “Некоторые школьники не умеют писать”.

СЛОЖНЫЕ СУЖДЕНИЯ

Сложным называют суждение, содержащее логические связки и состоящее из нескольких простых суждений.

Например, студенты-психологи изучают логику и математику.

В дальнейшем простые суждения мы будем рассматривать как некие неделимые атомы, как элементы, из соединения которых возникают сложные структуры. Простые суждения будем обозначать отдельными латинскими буквами: а, b, с, d,... Каждая такая буква представляет некоторое простое суждение. Отвлекаясь от сложной внутренней структуры простого суждения, мы удерживаем лишь одно свойство суждения - то, что оно может быть истинным или ложным. Все остальное нас здесь не интересует. И когда мы говорим, что буква “а” представляет суждение, а не понятие, не число, не функцию, мы имеем в виду только одно: это “а” представляет истину или ложь. Если под “а” мы подразумеваем суждение “Петрозаводск – столица Карелии», мы подразумеваем истину; если же под “а” мы подразумеваем суждение “Петрозаводск – находится в Азии», мы подразумеваем ложь. Таким образом, наши буквы “а”, “b”, “с” и т.д. - это переменные, вместо которых могут подставляться истина или ложь.

Логические связки представляют собой формальные аналоги союзов нашего родного естественного языка. Как сложные предложения строятся из простых с помощью союзов “однако”, “так как”, “или” и т.п., так и сложные суждения образуются из простых с помощью логических связок. Поэтому в дальнейшем мы вместо слова “суждение”, обозначающего чистую мысль, часто будем использовать слово “высказывание”, обозначающее мысль в ее языковом выражении.

Под высказыванием обычно понимают всякое повествовательное предложение, утверждающее что-либо о чем-либо, и при этом мы можем сказать, истинно оно или ложно в данных условиях места и времени. Логическими значениями высказываний являются «истина» и «ложь».

Приведем примеры высказываний:

1) Петербург расположен на берегу Балтийского моря.

2) Осло – столица Финляндии.

3) Пингвин – не птица.

4) Квадрат – прямоугольник и ромб.

5) Если окружающая температура станет ниже -10 Цельсия, то вода замерзнет.

Высказывания 1), 4), 5) истинны, а 2) и 3) – ложны.

Высказывание, представляющее собой одно утверждение, принято называть простым. Примерами простых высказываний могут служить высказывания 1) и 2).

Высказывания, которые получаются из элементарных с помощью грамматических связок «не», «и», «или», «если …, то …», «тогда и только тогда», принято называть сложными или составными. Так, высказывание 3) получается из простого высказывания «Пингвин – не птица» с помощью отрицания «не». Высказывание 4) образовано из элементарных высказываний «Квадрат – есть ромб», «Квадрат есть прямоугольник», соединенных союзом «и». Высказывание 5) получается из простых высказываний «Окружающая температура ниже -10 Цельсия», «Вода замерзла» с помощью грамматической связки «если…,то …». Аналогично сложные высказывания могут быть получены из простых высказываний с помощью грамматических связок «или», «тогда и только тогда».

В работе с высказываниями мы будем рассматривать эти объекты только с точки зрения их логического значения, а от их житейского содержания отвлекаются. Будем считать, что каждое высказывание либо истинно, либо ложно. Ни одно высказывание не может быть одновременно истинным и ложным.

Элементарные будем высказывания обозначать буквами латинского алфавита: a,b,c,…,x,y,z,…; истинное значение – буквой И или цифрой 1, а ложное значение – буквой Л или цифрой 0. Если высказывание а истинно, то будем писать а=1, если же ложно, то а=0.

Два высказывания будем называть равносильными (эквивалентными), если они одновременно истинны или ложны.

Например, высказывание «Земля – спутник Солнца» равносильно высказыванию «5 = 4», а высказывание «2 + 2 = 4» равносильно высказыванию «Петрозаводск расположен на берегу Онежского озера». Равносильность этих высказываний заключается в том, что они имеют один и тот же истинностный смысл.

ОПЕРАЦИИ НАД ВЫСКАЗЫВАНИЯМИ

Отрицание.

Отрицанием высказывания х называется новое высказывание, которое является истинным, если высказывание х ложно, и ложным, если высказывание х истинно.

Отрицание высказывания х обозначается и читается «не х» или «неверно, что х». Например, отрицанием высказывания «Пингвин - птица» является высказывание «неверно, что пингвин - птица» или, что то же самое, «Пингвин не является птицей»,»

Логические значения высказывания можно описать с помощью таблицы:

x	Таблицы такого вида принято называть таблицами истинности

Обращаем внимание, чтобы одно высказывания стало отрицанием другого обязательно должно выполняться условие: они должны иметь одновременно противоречивые истинностные значения.

Объясните, почему высказывания «он мне друг» и «он мне враг» не являются отрицаниями друг друга.

Пусть х высказывание. Так как также является высказыванием, то можно образовать отрицание высказывания , то есть высказывание , которое называется ДВОЙНЫМ ОТРИЦАНИЕМ высказывания х. Ясно, что логические значения высказываний и х совпадают.

Например, для высказывания «Байкал - озеро» отрицанием будет высказывание «Неверно, что Байкал - озеро» или «Байкал не является озером», а двойным отрицанием будет высказывание «Неверно, что Байкал не является озером».

x	Двойное отрицание высказывания а имеет тот же смысл, что и исходное высказывание.

2. конъюнкция (логическое умножение).

Конъюнкцией двух высказываний x, y называется новое высказывание, которое считается истинным, если оба высказывания x, y истинны, и ложным, если хотя бы одно из них ложно (т.е. в остальных случаях).

Конъюнкция высказываний x, y обозначается символом x&y или (xÙy), читается «x и y». Высказывания x, y называются членами конъюнкции. Все возможные логические значения конъюнкции двух высказываний x и y описываются следующей таблицей истинности.

Из определения операции конъюнкции видно, что союз «и» в алгебре логики употребляется в том же смысле, что и в повседневной речи. Но в обычной речи не принято соединять союзом «и» два высказывания, далекие друг от друга по содержанию, а в алгебре логики рассматривается конъюнкция двух любых высказываний. (Например: «В огороде бузина и в Киеве дядька»).

Из определения операций конъюнкции и отрицания ясно, что высказывание всегда ложно.

3. дизъюнкция (логическое сложение).

Дизъюнкцией двух высказываний х, у называется новое высказывание, которое считается истинным, если хотя бы одно из высказываний х, у истинно, и ложным, если они оба ложны.

Дизъюнкция высказываний х, у обозначается символом х Ú у, читается «х или у». Высказывания х, у называются членами дизъюнкции. Все возможные логические значения дизъюнкции двух высказываний х и у описываются следующей таблицей истинности:

В алгебре логики союз «или» всегда употребляется в не исключающем смысле.

Из определения операций дизъюнкции и отрицания ясно, что высказывание всегда истинно.

4. импликация.

Импликацией двух высказываний х, у называется новое высказывание, которое считается ложным, если х истинно, а у – ложно, и истинным во всех остальных случаях.

Импликация высказываний x,y обозначается символом (или ), читается “если х, то y”или ”из х следует y”. Высказывание х называют условием или посылкой, высказывание y – следствием или заключением, высказывание - следованием или импликацией.

Логические значения операции импликации описываются следующей таблицей истинности:

Употребление слов “если…, то…” в алгебре логики отличается от употребления их в обыденной речи, где мы, как правило, считаем, что, если высказывание х ложно, то высказывание “Если х, то y” вообще не имеет смысла. Кроме того, строя предложение вида “ если х, то y” в обыденной речи, мы всегда подразумеваем, что предложение y вытекает из предложения х. Употребление слов “если…, то…” в математической логике не требует этого, поскольку в ней смысл содержания высказываний не рассматривается. Например, высказывание «Если Петрозаводск – столица Швеции, то 2+2 = 4» имеет место быть, и мы можем сказать, что оно истинно.

Импликация играет важную роль в математических доказательствах, так как многие теоремы формулируются в условной форме “Если х, то y”. Если при этом известно, что х истинно, и доказана истинность импликации , то мы вправе сделать вывод об истинности заключения y.

Для каждого выказывания, которое является импликацией, можно построить обратное, противоположное и обратное противоположному высказывания. Это можно зафиксировать в следуюшей таблице:

Таблица иллюстрирует, что прямое и обратное противоположному высказывания имеют один логический смысл. Можем заметить, что и обратное и противоположное высказывания имеют тоже один логический смысл. Это наше наблюдение можно доказать логически.

5. эквиваленция.

Эквиваленцией (или эквивалентностью) двух высказываний x,y называется новое высказывание, которое считается истинным, когда оба высказывания x,y либо одновременно истинны, либо одновременно ложны. И ложным во всех остальных случаях.

Эквиваленция высказываний x,y обозначается символом (или , реже ~), читается “ для того, чтобы x, необходимо и достаточно, чтобы y”, или “ х тогда и только тогда, когда у”. Высказывания x, y называются членами эквиваленции. Логические значения операции эквиваленции описываются следующей таблицей истинности:

с вершиной S и основанием PQ высота SМ является медианой» либо одновременно истинны, либо одновременно ложны..

Эквивалентность играет большую роль в математических доказательствах. Известно, что значительное число теорем формулируется в форме необходимых и достаточных условий, т.е. в форме эквивалентности. В этом случае, зная об истинности или ложности одного их двух членов эквивалентности и доказав истинность самой эквивалентности, мы делаем заключение об истинности или ложности второго члена эквивалентности.

Форма высказывания естественного языка

Операция	Соответствующая формула языка алгебры логики	Формула
отрицание	Не А; неверно, что А; А не имеет места
конъюнкция	A и В; как А, так и В; не только А, но и В; А вместе с В; А, несмотря на В; А, в то время как В	АÙВ
дизъюнкция	А или В; А, или В, или оба	АÚВ
импликация	Если А, то В; В, если А; А, только если В; А только тогда, когда В; А достаточно для В; А только при условии, что В; В необходимо для А; А, значит В; для В достаточно А; А влечет В; для А необходимо В; все А есть В; из А следует В; В тогда, когда А	А → В
эквиваленция	А эквивалентно В; А тогда и только тогда, когда В; А если и только если В; А необходимо и достаточно для В

Перевести на язык алгебры логики следующие высказывания:

если светит солнце, то дождя не будет

если погода пасмурная и дует ветер, то дождя нет;

неверно, что если погода пасмурная, то нет ветра;

Коля решит задачу, если он вспомнит нужную теорему.

ФОРМУЛЫ АЛГЕБРЫ ЛОГИКИ.

Всякое сложное высказывание, которое может быть получено из элементарных высказываний посредством применения логических операций отрицания, конъюнкции, дизъюнкции, импликации и эквиваленции, называется формулой алгебры логики.

Порядок выполнения операций в формуле указывается скобками. Например, из трёх высказываний x,y,z можно построить высказывания

(xÙy)Ú и x .

Первое из них есть дизъюнкция конъюнкции x,y и отрицания высказывания z, а второе высказывание есть импликация, посылкой которой является высказывание x, а заключением – отрицание дизъюнкции высказывания y и конъюнкции высказываний x,z.

Логическое значение формулы алгебры логики полностью определяется логическими значениями входящих в неё элементарных высказываний. Например, логическим значением формулы в случае, если x=1, y=1, z=0 будет истина, т.е. =1.

Как и в случае с логическими операциями все возможные логические значения формулы, в зависимости от значений входящих в неё элементарных высказываний, могут быть описаны полностью с помощью таблицы истинности.

Например, для формулы таблица истинности имеет вид:

Легко видеть, что если формула содержит n элементарных высказываний, то она принимает 2ⁿ значений, состоящих из нулей и единиц, или, что то же, таблица содержит 2ⁿ строк.

Две формулы алгебры логики А и В называются равносильными, если они принимают одинаковые логические значения на любом наборе входящих в формулы элементарных высказываний. Равносильность формул будем обозначать знаком º, а запись А ºВ означает, что формулы А и В равносильны.

Формула А называется тождественно истинной (или тавтологией), если она принимает значение 1 при всех значениях входящих в неё переменных.

Формула называется тождественно ложной (или противоречием), если она принимает значение 0 при всех значениях входящих в неё переменных.

Между понятиями равносильности и эквивалентности существует следующая связь: если формулы А и В равносильны, то формула А«В – тавтология, и обратно, если формула А«В – тавтология, то формулы А и В равносильны.