Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Необходимое и достаточное условия экстремумаОпределение. Точка называется точкой максимума (минимума) непрерывной функции , если в некоторой окрестности точки , для всех точек этой окрестности выполняется неравенство: (или ). Точки минимума и максимума носят общее название точек экстремума. Обозначим приращение функции через , тогда можно переформулировать определение экстремума: Точка называется точкой максимума непрерывной функции , если в некоторой окрестности точки приращение функции строго отрицательно, . Аналогично, - точка минимума, если .
Теорема. «Необходимое условие экстремума функции многих переменных». Если дифференцируемая функция достигает в точке экстремума, то все частные производные функции в этой точке обращаются в 0: . Так как полный дифференциал функции это сумма произведений частных производных на дифференциалы аргументов, то можно сказать, что необходимым условием экстремума функции многих переменных является равенство нулю полного дифференциала этой функции в точке экстремума: Точки, в которых выполняется необходимое условие экстремума, называются стационарными. Следовательно, если - точка экстремума функции , то либо - стационарная точка, либо в этой точке функция не дифференцируема.
Теорема. «Достаточное условие экстремума функции многих переменных». Трижды дифференцируемая в стационарной точке функция : 1. Имеет в этой точке экстремум, если дифференциал второго порядка функции в точке знакопостоянен и обращается в 0 только при выполнении условия: . Причем, точка является точкой максимума, если и, - точкой минимума, если . 2. Если дифференциал второго порядка меняет знак в окрестности , то точка не является точкой экстремума. 3. Если дифференциал второго порядка не меняет знак в окрестности точки , но обращается в 0 при некоторых наборах значений , среди которых есть отличные от 0, то функция в точке может иметь экстремум, а может и не иметь его (в этом случае необходимо дополнительное исследование).
|