Сравнение бесконечно малых функций

Пусть и - бесконечно малые функции при .

Если , то говорят, что более высокого порядка малости, чем при .

Если , то говорят, что более низкого порядка малости, чем при .

Если , то говорят, что k -го порядка малости относительно при . При говорят, что и одного порядка малости.

Если , то говорят, что и эквивалентные бесконечно малые при .

Например.

1) Сравним и при .

Следовательно, и бесконечно малые функции, одного порядка малости при .

2) Сравним и при .

Следовательно, бесконечно малая более низкого порядка, чем

при .

3) Определить порядок малости относительно при

.

Таким образом, бесконечно малая порядка относительно при .

На основе рассмотренных замечательных пределов можно указать ряд эквивалентных бесконечно малых при :

.

Для бесконечно малых функций справедливы следующие утверждения:

1) Предел отношения двух бесконечно малых функций не изменится, если любую из них заменить ей эквивалентной;

2) Разность двух эквивалентных бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция более высокого порядка малости по сравнению с каждой из них;

3) Если разность двух бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция по сравнению с каждой из них, то эти бесконечно малые функции эквивалентны.