Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Определение перемещений упругих системСтр 1 из 2Следующая ⇒ Лекция 5. СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ СИСТЕМЫ Общие сведения. Статически неопределимой называется такая система, у которой внутренние силы и реакции не могут быть найдены только из одних уравнений равновесия. Кинематическим признаком статически неопределимых систем является наличие в их структуре так называемых лишних связей, дающих лишние неизвестные сверх определяемых из уравнений статики. Число лишних связей и определяет степень статической неопределимости системы. Для силового расчета статически неопределимой системы кроме уравнений статики надо по числу лишних неизвестных составить дополнительные уравнения на основании рассмотрения деформаций системы. Различают внешне статически неопределимые и внутренне статически неопределимые системы. Система, которая имеет только лишние опорные закрепления, называется внешне статически неопределимой. Система, имеющая лишние связи в своем внутреннем образовании, называется внутренне статически неопределимой. Следует заметить, что деление это условно и, как будет показано ниже, зависит от того, какие связи принимаются за лишние. Могут быть также системы одновременно внешне и внутренне статически неопределимые. Необходимо обратить внимание на следующие особенности статически неопределимых систем: 1) Перемещения и усилия в этих системах, как правило, меньше перемещений и усилий в статически определимых системах, из которых они образованы, что ведет к экономии металла; это особенно важно для подвижных подъемно-транспортных машин. 2) Эти системы оказывают большее сопротивление разрушению, чем статически определимые, так как удаление лишних связей обычно не ведет к разрушению системы. 3) Внутренние усилия в системах с лишними связями зависят не только от внешних сил, но и от соотношения поперечных сечений отдельных элементов, формы сооружения, а также от количества и жесткости лишних связей, поэтому расчет многократно статически неопределимых систем осуществляется методом последовательных приближений. При этом сначала задаются поперечными сечениями всех элементов или определяют их каким-либо упрощенным методом, а затем в ходе окончательного расчета их уточняют. 4) В качестве недостатка статически неопределимых систем следует отметить их чувствительность к изменению температуры, к неточности изготовления отдельных элементов, к смещению и осадкам опор. В результате этих воздействий в них возникают дополнительные напряжения.
5.2 Установление степени статической неопределимости Рассмотрим на простых примерах, как устанавливаются лишние связи, при отбрасывании которых система превращается в статически определимую и геометрически неизменяемую. Например, портал с жесткими узлами, представленный на рис. 5. 1, а, является один раз внешне статически неопределимой системой. За лишнюю неизвестную нужно выбрать горизонтальную реакцию одной из опор и превратить ее из неподвижной в подвижную.
Рисунок 5.1 Примеры один раз статически неопределимых систем
На рис. 5.1, б показана трехопорная балка, также один раз статически неопределимая. Лишней неизвестной является вертикальная реакция одной из подвижных опор. Если эту опору убрать, балка делается статически определимой. Если же в этой балке ввести шарнир, например в сечении к, то она будет статически определимой (рис. 5. 1, в), так как появляется дополнительное уравнение статики (сумма моментов всех сил относительно шарнира равна нулю). Пример дважды статически неопределимого портала приведен на рис. 5.2. Рисунок 5.2. – Пример дважды статически неопределимой системы
В данном случае в качестве одного лишнего неизвестного можно принять горизонтальную реакцию у одной из опор, а другого — усилие в шарнирно прикрепленной к стойкам затяжке АВ. В этом случае портал будет один раз внешне и один раз внутренне статически неопределим. Для установления степени статической неопределимости в рамных системах необходимо ввести понятия жесткого замкнутого контура и числа простых цилиндрических шарниров. Жестким замкнутым контуром называется контур, состоящий из ряда элементов, жестко связанных между собой и образующих замкнутую цепь. Если рамная система содержит К замкнутых бесшарнирных контуров, то она будет 3К раз статически неопределимой, так как в каждом замкнутом контуре имеются шесть неизвестных и три уравнения статики (рис. 5.3). Рисунок 5.3.– Неизвестные параметры в замкнутом контуре
При наличии в замкнутом контуре шарнира статическая неопределимость снижается на единицу, так как появляется дополнительное уравнение статики. Тогда Л = 3К — Ш, где Л — число лишних связей системы; Ш — число шарниров. На основании этого легко установить степень статической неопределимости любых рамных систем, в которые входят замкнутые контуры и шарниры. Например, в конструкции портала, представленной на рис. 5.4, а, имеется два замкнутых контура; следовательно, он шесть раз статически неопределим.
Рисунок 5.4. – Схемы портальных рам В конструкции портала, показанной на рис. 5.4, б, в верхнем контуре имеется шарнир. Если рассечь ригель по этому шарниру, то в нем будут две неизвестные внутренние силы N и Q. Поэтому верхний контур будет дваждыстатически неопределимым. Нижний замкнутый контур не имеет шарниров, и, следовательно, он будет трижды статически неопределимым, и общая статическая неопределимость будет равна пяти (Л = 2 x 3 - 1 = 5).
5.3 Канонические уравнения метода сил
Различают три метода расчета статически неопределимых систем: метод сил, метод перемещений и метод конечных элементов. Расчет по методу сил статически неопределимых систем в кра- ностроении является наиболее распространенным. В этом методе расчета в качестве неизвестных принимаются внутренние усилия в лишних связях. Расчет начинают с выбора основной системы. Основной называют такую статически определимую и геометрически неизменяемую систему, которая после удаления лишних связей в заданной системе и замены их неизвестными усилиями находится в таком же напряженно-деформированном состоянии, что и заданная система. Следует иметь в виду, что для одной и той же заданной системы может быть несколько вариантов основной системы. Поэтому нужно стремиться к наиболее рациональной основной системе, в наибольшей степени упрощающей расчет. После выбора основной системы расчет осуществляется в следующей последовательности. К основной системе кроме заданной нагрузки по направлению отброшенных связей прикладываются неизвестные силы, называемые лишними неизвестными: Х1, Х2, Х3 и т. д. Неизвестные силы подбираются с таким расчетом, чтобы перемещения в основной и заданной системах были равны. Перемещения по направлению какой-либо неизвестной силы будут равняться нулю независимо от того, где она приложена — на опоре или в рассеченном элементе, поскольку в заданной системе перемещения по направлению неизвестных сил отсутствуют Следующим этапом расчета будет составление уравнений совместности перемещений, которые выражают условие равенства нулю перемещений по направлению каждой лишней связи. Рассмотрим, например, приведенную на рис 5.5, а неразрезную балку с числом лишних связей, равным п. Основную систему выберем путем удаления лишних опорных стержней и замены их неизвестными силами (рис. 5.5, б). Необходимо отметить, что этот вариант основной системы не является оптимальным для решения данной задачи. Более рациональным является выбор основной системы, представленной на рис. 5.6, так как в этом случае значительная часть коэффициентов уравнения обращается в ноль. Столь неудачный в данном случае выбор основной системы сделан в методических целях для того, чтобы сохранить в системе канонических уравнений все их члены. В этом случае система п уравнений может быть записана так: ……………………………………………………………….
Рисунок 5.5. – Неразрезная балка
Рисунок 5.6. – Рациональный вариант выбора основной системы
Уравнения совместности перемещений называются каноническими уравнениями метода сил, поскольку они записываются по определенному закону (канону). Эти уравнения, количество которых равно числу лишних неизвестных, совместно с уравнениями равновесия позволяют раскрыть статическую неопределимость системы, т. е. определить значения лишних неизвестных. Неизвестными в них являются реакции отброшенных связей Х1 Х2, Х 3 и т. д. (рис 5.5, б). В качестве коэффициентов при неизвестных стоят перемещения основной системы, вызванные единичными силами, действующими по направлению неизвестных (рис. 5.5, в—е), и внешней нагрузкой (рис. 5.5, ж). Левые части уравнений выражают суммарные перемещения точек приложения неизвестных сил по их направлениям от действия всех приложенных сил. Поскольку эти перемещения отсутствуют, то правые части уравнений равны 0.
Канонические уравнения представляют собой систему линейных уравнений, решение которых не представляет принципиальных трудностей, однако при большом числе уравнений трудоемко. В первую очередь надо вычислить большое число перемещений. Коэффициенты при неизвестных образуют квадратную симметричную матрицу
. В представленной матрице коэффициенты δii называются главными перемещениями, а δij (i ≠ j) — побочными. Главные перемещения, расположенные по диагонали матрицы, всегда положительны и не могут обратиться в нуль. Побочные перемещения, расположенные симметрично по отношению к диагонали матрицы, вследствие закона взаимности перемещений соответственно равны между собой. Побочные перемещения могут быть положительными, отрицательными или обращаться в нуль. Это свойство побочных перемещений дает возможность упрощать систему уравнений. Необходимо выбирать основную систему так, чтобы возможно большее число побочных перемещений обратилось в нуль.
При расчете статически неопределимых систем методом перемещений в качестве неизвестных принимаются угловые и линейные перемещения узлов систем. Определив эти перемещения, можно найти соответствующие усилия, а затем выполнить обычное построение эпюр внутренних изгибающих моментов, продольных и поперечных сил. В методе перемещений так же, как и в методе сил, выбирается своя основная система, позволяющая легко строить эпюры, вызываемые всевозможными воздействиями. Но в отличие от метода сил основная система получается не устранением лишних связей, а добавлением новых дополнительных связей, которые препятствуют угловым и линейным перемещениям узлов исходной системы. В последнее время широкое распространение применительно к расчету инженерных конструкций (стержневых, листовых, оболочечных) получил метод конечных элементов (МКЭ), базирующийся на рассмотрении конструкции в виде совокупности отдельных конструктивных элементов, соединенных в конечном числе узловых точек. Другими словами, расчетная схема исходной (стержневой) конструкции представляется совокупностью дискретных элементов (стержней). В узловых точках прикладываются некоторые фиктивные усилия взаимодействия, определяющие действие внутренних напряжений. Каждому узловому перемещению (линейному или угловому) соответствует узловое усилие. Совокупность этих усилий определяет влияние смежных элементов (стержней) конструкции на рассматриваемый элемент. Упругие свойства отдельных стержней, на которые разбиваются конструкции, определяются их матрицей податливости или матрицей жесткости. Эти матрицы определяют связь между узловыми усилиями и узловыми перемещениями рассматриваемого конечного элемента. Расчет методом конечных элементов предполагает использование ЭВМ.
Определение перемещений упругих систем. Для определения перемещений δij и Δjp целесообразно воспользоваться формулой Мора. Она позволяет определять перемещения любых плоских геометрически неизменяемых и линейно деформируемых стержневых систем (балок, рам, ферм и т. п.). Например, требуется определить перемещение какой-либо точки к рамной системы, вызванное приложенной к ней нагрузкой (рис. 5.7). Рисунок 5.7. – Определение перемещений упругих систем
Рассмотрим систему в двух состояниях. В первом (действительном) состоянии система нагружается заданной нагрузкой (рис. 5.7, а), а во втором (вспомогательном) — к системе в точке к приложена лишь одна внешняя единичная сила Рк, по направлению которой и определяется искомое перемещение Δ21 (рис. 5.7, б). Согласно формуле Мора:
Здесь буквами N, Q и M с соответствующими индексами обозначены продольная и поперечная силы и изгибающий момент в произвольном сечении конструкции, Е, G и μ – модуль Юнга, модуль сдвига и коэффициент Пуассона материала конструкции, F и J – площадь поперечного сечения и момент инерции сечения. Следует заметить, что усилия N1 , NР , М1, МР, Q1, QР обычно представляют собой не фиксированные значения, а являются функциями координаты s, т. е. являются соответствующими эпюрами. При сопоставлении размерностей левой и правой частей формулы Мора следует помнить, что в левой части перемещение Δ21умножено на единицу силы. При определении перемещений различных стержневых систем не все внутренние усилия целесообразно учитывать. Например, для перемещений в системах балочного и рамного типов, за исключением коротких элементов большого сечения, поперечные и осевые силы не имеют существенного значения и ими можно пренебречь. Поэтому в подавляющем числе случаев при определении перемещений в балках и рамах можно ограничиться работой внутренних сил только от изгибающих моментов, т. е. принимать один член в формуле Мора. Тогда
Для ферм, где стержни испытывают лишь осевые усилия, можно пренебречь влиянием М и Q. Поскольку по длине каждого стержня фермы осевые N1 и NР и площади сечений F постоянны, можно вынести за знак интеграла N1, NР, F, а интеграл от ds равен длине стержня l. Тогда
(5.1)
5.5 Учет влияния изменения температуры
Канонические уравнения для расчета статически неопределимых систем от действия изменения температуры на Δt отличаются от канонических уравнений при действии внешней нагрузки тем, что свободные члены Δ1Р ,..., Δ пР и т. д. заменяются перемещениями Δ1t,..., Δ пt и т. д., представляющими собой температурные перемещения в основной системе по направлению лишних неизвестных Х1 Х2,..., Хп . Перемещения , … имеют те же значения, что и при расчете на внешнюю нагрузку, а уравнения имеют следующий вид:
где - перемещение в основной системе от действия изменения температуры по направлению неизвестного Хk. Рассмотрим определение усилий, возникающих в портале в результате линейного перемещения его верхнего строения при изменении температуры на Δt (рис. 5.8, а).
Рисунок 5.8. – Портал при изменении температуры на Δ t
Каноническое уравнение будет иметь вид , откуда Х1 = , где , если положительно, так как направлено в сторону, обратную . Здесь — коэффициент линейного расширения. Перемещение (рис. 5.8,б) где . Тогда неизвестная реакция в опоре от нагрева портала на температуру будет равна
Х1 =
Канонические уравнения при расчете статически неопределимых систем с учетом неточностей монтажа опор имеют отличие лишь в том, что свободные члены Δ1Р ,..., Δ пР и т. д. заменяются перемещениями Δ1ос ,..., Δ пос и т. д., представляющими собой перемещения по направлению лишних неизвестных, вызванные осадкой опор. Канонические уравнения будут иметь следующий вид:
Рассмотрим в качестве примера трехопорную балку, у которой в процессе монтажа у средней опоры был допущен зазор Δ (рис. 5.9).
Рисунок 5.9. - Трехпролетная балка с зазором у средней опоры
Каноническое уравнение будет иметь вид
Как известно, С учетом зазора в данном случае , где Таким образом,
Если Δ = 0, то Х1 = 5ql / 8. Если Δ ≥ 5ql4 / 384EJ, то Х1 = 0. Изгибающий момент в середине пролета Mo,5l = ql2 / 8 – X1 l / 4 = ql2 / 8 – 5ql 2/ 32 + 12ΔEJ / l2. Изгибающий момент из-за зазора ΔM ' = 12 Δ EJ / l2 = 6 Δ EWh / l2, где h – высота сечения балки. Обусловленные наличием зазора напряжения в сечении балки, расположенном в середине пролета, σ = ΔM ' / W = 6 Δ Eh / l2. Принимая Е = 200000 МПа, Δ / l = 1/1000 и h / l = 1/20, получаем, что σ = 60 МПа (для сравнения предел текучести для проката из стали Ст.3 205-255 МПа).
|