Определение усилий по линиям влияния

Рассмотрим использование линии влияния усилий для отыскания их полных значений при действии на конструкцию системы вертикальных сил или распреде­ленной вертикальной нагрузки. При этом изучаем линии влияния, пос­троенные от вертикального груза Р = 1.

Пусть требуется определить по линии влияния полное значение из­гибающего момента в сечении к при действии на балку системы сос­редоточенных сил Р₁, Р₂,...,Р_п, занимающих определенное по­ложение. В данном случае изучаем изгибаю­щий момент М_к в сечении (рис. 2.4).

Рисунок 2.4 Определение изгибающего момента по линиям влияния

Каждая ордината линии влияния S_к, обозначенная y_i, численно равна значению усилия S_к, когда груз Р=1 находится на балке над этой ординатой.

При действии на конструкцию одного груза Р_i, усилие

S_кi = Р_i y_i

При нагружении балки системой сил Р₁, Р₂,...,Р_п полное уси­лие получим по принципу сложения действия, суммируя усилия,

S_к = Р₁ y₁ + Р₂ y₂ + … + Р_n y_n.

Пусть на сооружение действует сплошная неравномерно распределенная нагрузка интенсивностью q_x = f(x) (рис. 2.5). Для определения полного значения усилия заменим сплошную неравномерную

Рисунок 2.5. – Действие на конструкцию неравномерно распределенной нагрузки

нагрузку системой бесчисленного количества беско­нечно малых сосредоточенных сил. Выделим на расстоянии х от левого конца элемент балки длиной dх, в центре которого прило­жена нагрузка dР = q_хdх.

Элементарное усилие получим по формуле:

dS_к = (q_хdх) у_x.

Полное усилие найдем интегрированием:

.

Очень часто на сооружение действует равномерно распре­деленная нагрузка постоянной интенсивности:

q_x = q = const.

Вынося постоянную q в правой части формулы за знак инте­грала, получаем

.

Но произведение y_xdx равно площади одной из элементарных по­лосок, на которые расчленяется вся площадь участка линии влияния. Следовательно,

.

где ω₁₂ — площадь, ограниченная линией влияния и осью абсцисс на участке действия нагрузки (площадь участка линии влияния).

Итак, полное усилие определяется формулой

S_к = q ω₁₂.

т. е. чтобы получить полное усилие от сплошной равномерно распре­деленной нагрузки по линии влияния, необходимо интенсивность нагрузки умножить на площадь данного участка линии влияния.

Размерность ординаты линии влияния может быть найдена по выражению:

Размерности данного усилия

Размерность ординаты линии влияния = ---------------------------------------------

Размерность груза

Для опорных реакций и поперечных сил размерность ординаты линии влияния — безразмерная величина. Для изгибающих моментов ординаты линии влияния выраже­ны в единицах длины.

2.5 Невыгодное нагружение линий влияния

Аналитическое условие максимума усилия. Полное усилие S_п в данном месте сооружения при движении подвижной нагрузки в виде системы сосредоточенных сил Р меняется по достаточно слож­ному закону, график которого имеет ряд изломов. На рис. 2.6 на оси абсцисс откладываем абсцис­су х системы сосредоточенных сил, на оси ординат —значе­ние полного усилия S_п. При х = х₀ усилие S_п имеет местный макси­мум, условие для которого

при Δх > 0 Δ S_п < 0,

при Δх <0 Δ S_п < 0.

Рисунок 2.6. – К аналитическому определению условия максимума усилия

Как при положительном, так и при отрицательном приращении абсциссы подвижной системы сил Δх приращение полного усилия Δ S_п должно быть отрицательным.

При определении невыгоднейшего нагружения линии влияния, т. е. когда искомая величина S имеет наибольшее значение, огра­ничимся рассмотрением наиболее распространенного случая, когда линия влияния имеет треугольное очертание.

Пусть имеются система связанных сосредоточенных грузов P₁— Р₇, действующих на балку (рис. 2.7, а), и соответствующая линия влияния исследуемой величины S (рис. 2.7, б).

Рисунок 2.7.- Определение невыгодного нагружения линии влияния

Равнодействующие грузов, расположенных в пределах левой и правой ветвей линии влияния, обозначим соответственно Р_л и Р_п, а ординаты линии влияния под этими грузами — у_л и у_п (рис. 2.7, а, б). Искомое значение S будет равно S = Р_лу_л + Р_пу_п.

Чтобы найти максимальное его значение, составим производную от S по абсциссе х dS/dх = Р_лdу_л/dх + Р_пdу_п/dх. Поскольку для левого участка dу_л/dх = tg α, а для правого - dу_п/dх = - tg β,

dS/dх = Р_л tg α - Р_п tg β.

Для нахождения максимального значения S приравнивать производную, т. е. угол наклона касательной, к нулю нельзя, так как функция в сечении к не непрерывна, а имеет излом. Для того, чтобы значение функции в сечении к имело максимум, значение производной функции при движении грузов должно менять знак. Знак изме­нится лишь в том случае, когда один из грузов, оказавшийся над вершиной линии влияния, перейдет из одной части балки на другую. Такой груз, расположенный над вершиной линии влия­ния, называется критическим грузом Р_кр.

Пусть кроме груза Р_кр равнодействующие грузов слева и справа от сечения к обозначены Р_л и Р_п (рис. 2.7, в). Если система грузов получит бесконечно малое перемещение влево, то производная dS/dх > 0, так как критический груз причис­ляется к силам Р_л, поэтому dS/dх = (Р_л + Р_кр) tg α - Р_п tg β > 0.

При бесконечно малом смещении системы грузов вправо произ­водная dS/dх < 0, так как критический груз причисляется к си­лам Р_п. Поэтому dS/dх = Р_л tg α - (Р_п + Р_кр) tg β <0.

Подставив в эти уравнения tg α = у_кр/а и tgβ = у_кр/b, где у_кр — координата линии влияния над ее вершиной (рис. 2.7, г), получим два неравенства:

(Р_л + Р_кр) / a > Р_п / b; Р_л / a < (Р_п+ Р_кр) / b. (2.2)

Конечно, эти неравенства применимы при условии, что ни один из грузов не сходит с балки. В случае сплошной распре­деленной нагрузки опасным положением будет то, при котором средние нагрузки на левом и правом участках балки равны, т. е. P_л/а = P_п/b.

Критический груз может быть найден путем простейшего графического построе­ния. Пусть дана балка, загруженная си­стемой сосредоточенных грузов Р₁ — Р₅(рис. 2.8, а).

Линия влияния S в сече­нии к показана на рис. 2.8, б. Отложим на перпендикуляре к оси балки в точке d в определенном масштабе величины гру­зов в последовательности их располо­жения на балке. Соединим конец линии влияния в точке b с концом последнего груза Р₅ (точка с). Затем проведем линию из точки к, параллельную линии bc до пе­ресечения с отложенными силами (точка е).

Рисунок 2.8. – Графическое определение критического груза.

Критическим окажется тот груз, который будет пересечен этой линией (на рис. 2.8 сила Р₃), так как при этом удовлетворяются условия (2.2), поскольку треуголь­ники dbс и dке подобны. Если точка е совпадает с границей каких-нибудь двух сил, то обе эти силы являются критическими и при движении грузов от одной критической силы до другой значение S _шах не изменится.

2.6 Определение наибольшего изгибающего момента в двухопорной балке от действия ходовых колес тележки

При расчете крановых балок, подверженных воздействию подвижных связанных грузов (ходовых колес тележки), необхо­димо найти то сечение балки, которому соответствует максималь­ный изгибающий момент. Известно, что это сечение будет под одним из сосредоточенных грузов. Определим, например, как следует расположить четырехколесную крановую тележку, чтобы получить наибольший изгибающий момент (рис. 2.9, а).

Пусть на балку действуют силы Р_1, Р₂, результирующая которых R = Р₁ + Р₂. При этом Р₁ > Р₂.

Для определения максималь­ного изгибающего момента под колесом 1 тележки возьмем ее положение, при котором ко­лесо 1 располагается на рас­стоянии х от левой опоры А. Левая опорная реакция А будет равна А = R (l – x – a₁) / l, а изгибающий момент под силой Р₁:

М_1х = Ах = R (l – x – a₁)х / l. (2.3)

Для определения координаты х, соответствующей максималь­ному значению изгибающего момента, производную от этого выражения по х приравняем нулю. Тогда dМ_1х/dх = R (l – 2x₁ – a₁) / l, откуда х₁ = (l — а₁) / 2, а

М_1mах = R (l – a₁)² / 4l. (2.4)

Рисунок 2.9. – Значения максимальных изгибающих моментов при нагружении балки подвижной нагрузкой

Выражение (2.3) представляет собой уравнение параболы, которая действительна до точки с, что соответствует положению тележки, когда колесо 2 находится над опорой (рис. 2.9, б). Нулевые точки параболы определяются из уравнения М_1х = R (l – x_o – a₁)х_o / l = 0, от­куда х₀ = 0 и х₀ = l – a_1.

Для определения максималь­ного изгибающего момента под колесом 2 тележки возьмем ее положение, при котором ко­лесо 2 располагается на рас­стоянии х от правой опоры В. В этом случае опорная реак­ция В будет равна B = R (l – x – a₂) / l, а изгибающий мо­мент под вторым колесом М_1х = R (l – x – a₂)х / l.

Для опре­деления М_2mах возьмем производную по х и приравняем ее нулю. Тогда dМ_2х/dх = R (l – 2x₂ – a₂) / l, откуда х₂ = (l — а₂) / 2, а

М_2mах = R (l – a₂)² / 4l. (2.5)

Нулевые точки параболы х_о = 0, х_о = l - а₂.

На рис. 2.9, б сплошной линией показаны расчетные значения ма­ксимальных изгибающих моментов для балки, что соответствует значениям огибающей М_max при движении тележки по балке для различных ее сечений. При Р₁ = Р₂ и а₁ = а₂ = b / 2.