Общая теория относительности (ОТО): от принципа эквивалентности к тензорно-геометрической концепции гравитации и затем – к уравнениям гравитационного поля Эйнштейна-Гильберта

Философские проблемы СТО и ОТО: сравнительный вклад в создание специальной теории относительности (СТО) Х.А. Лоренца, А. Пуанкаре, А. Эйнштейна и Г. Минковского.

Лоренц

Опыт Майкельсона – хрестоматийная вещь, попытки зафиксировать эфирный ве­тер в оптических экспериментах. Этот опыт несколько раз повторялся, обсуждался и стимулировал мысль такого человека, как, например, Хенрик Антон Лоренц, которому принадлежат выдающиеся первые работы по электродинамике и оптике движущихся сред или тел, которые, по существу и привели к теории относительности. Все начина­лось с Лоренца. Недаром преобразование носит его имя. Конечно, СТО был накоплен огромный экспериментальный материал, касающийся оптики и электродинамики дви­жущихся тел, и она естественно возникала. Возможно, самым сложным этапом было осмысление того, что называется преобразованиями Лоренца и всего прочего, но это сделал Эйнштейн немножко позже.

Анри Пуанкаре

Потом к этим работам подключается Анри Пуанкаре, работы которого не надо недо­оценивать, он сделал очень много для создания СТО, и некоторые точки над I поставил Эйнштейн в своей работе 1905 года. Почти одновременно эти работы Эйнштейна и Пуанкаре были опубликованы в ’05-м году, главная подробная работа Пуанкаре была опубликована в ’06-м году, а подана в печать вместе с эйнштейновской. До сих пор идут весьма горячие битвы по поводу того, кто же настоящий автор СТО. Видите, тут важную роль сыграл Лоренц, безусловно много сделал Пуанкаре. Кстати, группа Лоренца добавленная пространственно-временными сдвигами, называется группой Пуанкаре – тоже основная релятивистская группа. Пуанкаре в каком-то смысле не то, что подложил свинью Минковскому, но Пуанкаре раньше использовал 4-мерный подход как мат. метод, не вкладывая туда никакой метафизики. Пуанкаре решил согласовать с теорией относительности закон тяготения Ньютона. Для этого он ввел 4-мерный подход и вычислил некоторые инварианты, связанные с теорией тяготения, правда, ни к чему особенному это не привело, пришлось все равно строить новую. Теорию тяготе­ния Эйнштейна. Всегда отмечается, что Пуанкаре это сделал, но он рассматривал это как промежуточный прием, а Минковский создал фундаментальную физическую кон­цепцию. Прочту кусочек из Паули. До самого последнего времени встречаются люди, которые находят некоторые аргументы, которые доказывают, что не Эйнштейн все-таки, а Пуанкаре – главная фигура в создании теории относительности.

Альберт Эйнштейн

Эйнштейн дал нетривиальную физическую интерпретацию. Дело в том, что Лоренц полагал, что тут нет релятивизма, есть абсолютная система отсчета, она связана с эфиром. И знаменитые лоренцевы сокращения времени или стержней, связанные с релятивистским корнем, они имеют реальный физический смысл по отношению к эфиру, что действительно там происходят какие-то взаимодействия. Он вкладывает не кинематический смысл, как это сделал Эйнштейн, который выбросил эфир. Эйнштейн детально вник в понятие время, он, фактически, первый четко связал преобразования Лоренца с относительностью одновременности. Ну и сделал это все последовательно, наконец, ни Лоренц, ни Пуанкаре не построили теорию относительности, как аксиоматическую теорию, основанную на двух принципах – принцип относительности и принцип постоянства скорости света (этот принцип, еще понимаемый, как независимость скорости света от источника излучения). Всего два простых принципа, второй из которых вооб­ще обобщение экспериментальных данных. В итоге из этих двух принципов он вывел все. На самом деле еще были кое-какие неявные предположение, но главных физических всего два. В то время, как у Лоренца их была как минимум дюжина, чтобы объяснить отрицательный результат опыта Майкельсона. Что касается Пуанкаре, то он многое понимал, но не создал единого подхода, который мы понимаем под словами «теория относительности». Он знал принцип относительности в отличии от Лоренца, но был непоследователен, он часто возвращался к электромагнитной картине мира, что не в релятивизме дело, а в некой электродинамике и т.д. Некоторый чрезмерный математизм, а математика всегда содержит массу всяких условностей – то, что связывают с пуанкаревским конвенционализмом.

Герман Минковский

Выдающийся геттингенский математик и блестящий теоретик, который тогда же в 1907 году придумал 4-мерную интерпретацию СТО. Это стало каноническим, любое нормальное изложение теории относительности невозможно без Минковского, оно ведется на языке четырехмерного теоретико-инвариантного подхода. Минковский первый ввел такие вещи, как, например, тензор электромагнитного поля. В 4-мерном виде он записывал физ. Величины: тензор энергии импульса любой системы, тензор электро­магнитного поля, это антисимметричный тензор второго ранга. Причем Минковский рассматривал этот формализм не как некую переформулировку теории относительности, а почти как некую метафизику. Одну из своих лекций 1908 года в Кельне он начал так: нет больше пространства самого по себе, нет времени, а есть пространствовремя, которое он называл Мир. Этот Мир похож на трехмерную евклидову геометрию, которую изучают в школе. Симметрия очень простая – это группа движений этого 4мерного пространства-времени. Вместо обычного расстояния, которое является очень важным инвариантом в геометрии Евклида, там 4-мерный интервал, ну и один из членов суммы квадратов берется с минусом. Это называется псевдоевклидова геометрия, первый это осмыслил Минковский.

После вклада, который внес Минковский, теория относительности звучала примерно так: теория относительности – это теория инвариантов группы Лоренца. Кляйн ввел понятие группы галиллей-ньютоновской, которая была в основе классической механики, но несли эту группу рассматривать на 4-мерном многообразии. Это интересная группа, правда, вырожденная. После Кляйна, после Минковского стали говорить не только о введении теории групп в физику, но о таком введении, когда теории физические понимаются как теории инвариантов группы. Это эрлангенский подход. Среди важных философских или методологических проблем теории относительности, я хотел бы подчеркнуть, что теория относительности сыграла такую важную роль в утвер­ждении вот такого теоретико-инвариантного эрлангенского подхода к физике в целом. Конечно, кляйновские цепочки обладают прогностической силой.

Общая теория относительности (ОТО): от принципа эквивалентности к тензорно-геометрической концепции гравитации и затем – к уравнениям гравитационного поля Эйнштейна-Гильберта.

Как придумывалась ОТО? Не просто же Эйнштейн хотел взять и обобщить как-то СТО, и в чем эта общность? Какие тут симметрии? Оказалось следующее. В 1907 году Эйнштейну был заказан обзор по СТО для некоего нового журнала, который назывался «Jahrbuch der radioaktivit?t und elektronik». Он принял этот заказ, написал большую часть обзор и стал писать обзор по гравитации – СТО и гравитация, и увидел, что тут колоссальный пробел. Были некие наброски теорий тяготения релятивистски­инвариантных, они принадлежали Пуанкаре и Минковскому, и было ясно, что это со­вершенно неудовлетворительны теории, они не объясняли ничего нового, и не давали ничего нового. И даже теория не была полевой, никаких уравнений нельзя было полу­чить. И некоторым образом на 4-мерье распространялся закон всемирного тяготения. Это интересная попытка, из которой могло только следовать, что гравитация, напри­мер, распространяется со скоростью света и ничего больше не было. Эйнштейн увидел, что историки и философы забывают об одной жуткой аномалии в небесной механике. Аномалия жуткая. Но небольшая – смещение перигелия Меркурия. Меркурий враща­ется таким образом, что теория немножко не соответствует наблюдению, примерно 40 угловых секунд за 100 лет, но это уже можно зафиксировать, так называемое веко­вое смещение перигелия Меркурия, оно наблюдается. Были попытки применить СТО, чтобы объяснить эту аномалию, а это не получилось – из 40 объяснялось 7 угловых секунд, а это мало. Эйнштейн начал размышлять, что можно сделать, ему хотелось использовать какое-нибудь скалярное волновое уравнение, если вы возьмете обычную нерелятивистскую гравитацию, она описывается уравнением Пуассона, из нее можно получить как решение закон всемирного тяготения. Так вот, уравнение Пуассона надо было обобщить на релятивистский случай, для этого надо было ввести время, тогда получалось какое-то скалярное волновое уравнение. Такие теории пытались строить, но Эйнштейн увидел, что тут появляются некие сложности, проблемы, не удается объ­яснить, и он встал в тупик. Обзор надо заканчивать, а что писать по этому поводу? И тут он додумался до некой мысли, которую потом называл «счастливейшей мыслью моей жизни». Это то, что называется принципом эквивалентности. Очень дикая идея. Дикая, потому что уже в этой идее содержится идея полной геометризации физическо­го взаимодействия. Речь идет о том, что однородное гравитационное поле в каком-то смысле эквивалентно эффекту равноускоренной системы отсчета. Т.е. все равно, вы не можете различить – поднимается ли лифт с ускорением вверх или вы подложили под ваш лифт гравитационную пластину, которая дает однородное гравитационное поле. И это является равенством инертной и гравитационной массы. Мало кто об это так уж задумывался – привыкли, и небесная механика хорошо работала. Инертная масса, которая фигурирует во втором законе механики и масса которая фигурирует в законе всемирного тяготения – это одна и та же масса. Но это нетривиальная вещь! В одном смысле это, как бы гравитационный заряд, в другом смысле это инертная масса. Так вот Эйнштейн, исходя из равенства этих масс, геометризовал эту идею и ввел принцип эквивалентности, который означал довольно странную вещь. Ну пусть однородное поле, но все равно, это же физическое взаимодействие, это аналог кулоновского поля, это не какая-то геометрия, а он решил, что гравитационное поле можно трактовать как кинематический, а 4-мерном смысле геометрический аспект. И тут же – вот это назы­вается физик до мозга костей – посчитал и получил (пусть не совсем точно, в два раза меньше) эффект отклонения света в гравитационном поле, что было нетривиально и красное смещение спектральных полос в гравитационном поле. Даже для однородного поля можно было посчитать вот эти два эффекта. Новые эффекты! Для которых тут же Эйнштейн стал искать способы измерения. Казалось, открывается благодаря принципу эквивалентности перспектива изучения гравитации. Но есть большая разница между однородными полями и полями тяготения, которые, в принципе, однородными не быва­ют – это большая идеализация. Эйнштейн стал думать, как это сделать прошло лет 5-6, прежде чем он преодолел эти трудности. Принцип эквивалентности, несмотря на его эвристичность, приводил к ряду проблем, например, из него следовало, что скорость света непостоянна, что в рассмотрение вводятся неинерциальные системы отсчета, что нехорошо – надо вводить какие-то ускоренные системы отсчета, что что-то не то проис­ходит с расстояниями. Чуть позже им был дан эффектный пример геометрии на диске: вращается диск, по окружности, когда локально работают преобразования Лоренца, вы можете посчитать, как меняется длина окружности, а по радиусу не меняется. Это означает, что на диске геометрия уже неевклидова. Отношении длины к радиусу уже не бу­дет 2?, радиус-то не меняется в длине. Такой мысленный эксперимент любил Эренфест, друг Эйнштейна. Таким образом, можно выделить следующие фазы развития ОТО: пер­вая фаза – спец. Релятивистские теории тяготения, не прошли. Вторая фаза – принцип эквивалентности. Третья фаза – попытка распространения принципа эквивалентности на неоднородные и нестационарные гравитационные поля. Это был тяжелый процесс. Хотя Эйнштейн был одиночка, индивидуалист, для него были очень важны контакты с людьми, он находился в постоянном диалоге с астрономами, физиками. Математиками и т.д. Наконец он понял, что ему нужно что-то вроде римановой геометрии, но он ее не очень хорошо знал. Это была довольно новая геометрия, в физике ее не проходили, но у него был большой студенческий друг, которого звали Марсель Гроссман, который как раз довольно прилично знал эту геометрию. Кстати, Эйнштейн с Гроссманом учились в Цюрихском политехническом институте, где преподавал Герман Минковский. Минковский потом вспоминал: «Да знал я этого студента, плохо ходил на лекции и во­обще, не очень сильный был товарищ». Надо сказать, что Эйнштейн поначалу совсем не оценил концепции. Минковского – математическая формализация теории относи­тельности, не имеющая большого смысла, но потом при создании ОТО оказалось, что без Минковского в принципе ничего сделать нельзя. И был совершен решающий про­гресс в переходе от принципа эквивалентности к тензорно-геометрической концепции гравитации – еще не были получены правильные уравнения, но уже был ухвачен пра­вильный подход к тому, как искать эти уравнения. В конце концов Эйнштейн пришел к тому, что потенциал должен быть тензорный и он понял, что ему нужна такая геомет­рия. В это время он работал в Праге, где до него на этой кафедре работал Эрнст Мах. Эйнштейн очень высоко ценил Маха и можно показать, что на всех этапах создания ото идеи Маха были очень существенны. Мах – это тот самый один из вторых пози­тивистов, которых мы изучаем в философии науки. Но еще большую роль он сыграл как некий предшественник идей Эйнштейна. У него были конкретные вещи, связанные с критикой ньютоновских представлений о пространстве-времени. Наконец Эйнштейн приходит к такой системе: геометрия риманова, гравитационный потенциал не скалярный, а тензорный, а раз это риманова геометрия (это уже было в совместной работе с М. Гроссманом), то там есть и хорошие естественные инварианты. Например, основной тензор в римановой геометрии – это тензор 4-го ранга, который называется тензором Римана-Кристофеля, это исчерпывающе описывает всю кривизну. Но более подходящий тензор (потому что в физике более существенны тензоры 2-го ранга, например, тензор энергии импульса) -тензор Риччи. От первоначального варианта уравнений ОТО Эйнштейну с Гроссманом пришлось отказаться, поскольку они не удовлетворяли принципу соответствия – из них нельзя было получить уравнение Пуассона. Были еще два соображения – трудность построения закона сохранения и нарушение принципа причинности. А принцип причинности Эйнштейном понимался чем-то в духе задачи Коши – если у вас задано начальное условие, вы можете совершенно точно указать, что будет в любой момент – он думал, что так же принцип должен работать и здесь. И не сумев это согласовать, они отказались и начался путь нековариантных попыток решения проблемы, пока в ноябре 1915 года Эйнштейн не вернулся на этот путь. Вер­нулся он тоже интересно: он был летом приглашен в Геттинген, он прочел 6 лекций по тому, что было сделано до этого, по ОТО, но без правильных уравнений, в первом ряду его слушали Давид Гильберт, Кляйн и другие. В это время отчасти Минковско­го, отчасти Кляйна, Гильберт был увлечен физикой-знаменитый физический период в жизни Гильберта. Гильберт решил, что физика подошла к такому моменту, когда ее можно аксиоматизировать точно так же, как геометрию. И он попытался это сделать на основе работ Эйнштейна и нелинейной электродинамики Ми. Густав Ми – немецкий физик, который придумал нелинейное обобщение уравнений Максвелла, некорректное, как потом оказалось. Гильберт думал построить сразу единую теорию гравитации, гра­витационного электромагнитного поля, из которой бы из-за того, что электродинамика нелинейная, следовало бы описание, как минимум, электрона и даже его квантовых свойств. Казалось, еще чуть-чуть и будет построена некая единая теория поля. Работа Гильберта в ноябре 1915 года была нацелена не на то, чтобы построить правильные уравнения теории гравитации, а на то, чтобы построить правильную теорию, из которой бы все следовало. Финишировать они начали примерно одновременно с Эйнштейном. Этот финиш был чрезвычайно увлекательно зафиксирован в их переписке, которая ста­ла известна довольно поздно, из которой видно, что они довольно сильно влияли друг на друга. Это совершенно потрясающе по драматизму. Они обменивались открытками и финишировали примерно одновременно, очень интересная и тонкая структура этого, которая тоже вызывает большие дискуссии. После того, как все это стало известно, возникло желание называть эти уравнения уравнениями Эйнштейна-Гильберта, или даже Гильберта-Эйнштейна, а некоторые считают, что просто Гильберта. Вскоре после 20-го ноября Эйнштейн пишет письмо одному из своих друзей, что закончил теорию замечательную по красоте, но понимает ее в сущности только один человек, но он пытается ее нострифицировать (такой термин от латинского nostrum – наше, прива­тизировать). В Геттингене был такой стиль – если получен какой-то замечательный результат, например, в математике, этот результат нужно сделать в Геттингене на по­рядок выше по доказательности, по мощности. И так и было, ничего плохого в этом нет, но получалось, что человек, который впервые высказал идею, отходил на второй план. Это была школа Геттингена, это не значит, что они были какие-то там плагиа­торы, конечно, нет. Но Эйнштейн на первых порах обиделся, он решил, что Гильберт пришел на финише и опередил его, в то время, как он мучился 10 лет. Только в декаб­ре Эйнштейн написал Гильберту письмо. Я прочитаю. 20 декабря 195 года, после всех потрясений Эйнштейн пишет Гильберту: «Между нами было известное расстройство отношений, причины которого я не хочу анализировать. Я боролся с чувством горечи, вызванным этим и при том с полным успехом, я снова думаю а Вас с безмятежной приветливостью и прошу думать обо мне так же. Действительно жаль, когда два на­стоящих парня, которые как-то вырвались из этого жалкого мира, не доставляют друг другу радости». Но надо сказать, что вот эти уравнения выводились из вариационного принципа и лагранжиан нашел первым правильно Гильберт, а уравнения правильно первым написал Эйнштейн. Я не рассказал многих деталей по истории и не успел рассказать некоторых вещей в философско-методологическом плане. Симметрия этой теории довольна сложная, эта теория считается общековариантной, и эти уравнения инвариантна относительно произвольных непрерывных преобразований, но локально теория устроена как СТО.