В уточненной постановке

Рассмотрим однородную трансверсально изотропную пластину, отнесенную к декартовой системе координат (рис.1).

Рис.1 Прямоугольная пластина

Принимаем следующие гипотезы:

1. Материал пластины в направлении оси не обжимает и не испытывает давления

; . (2.1)

2. Поперечные сдвиговые деформации изменяются по заданному закону

, (1.2);

; , (2.2)

где (1.2) – символ, означающий перестановку индексов для получения другого выражения из заданного; - безразмерная поперечная координата; - толщина пластины; - углы сдвигов; - закон изменения сдвигов по толщине пластины.

Считая, что мембранные деформации срединной поверхности пластины отсутствуют, из выражений деформации и определяем компоненты перемещений:

; (2.3)

(1.2);

.

Здесь – частная производная по координате от прогибов пластины ; - закон изменения тангенциальных перемещений по толщине пластины при учете поперечных сдвигов.

Используя закон Гука и (2.3), находим компоненты напряжений:

(1.2);

, (2.4)

(1.2);

.

Им будут соответствовать следующие внутренние усилия:

(1.2)

(2.5)

(1.2);

Жесткости пластины при сдвиге и изгибе равны:

(2.6)

.

Интегрируя по толщине пластины уравнения теории упругости в напряжениях

(1.2);

(2.7)

и учитывая граничные условия на поверхностях

при : (1.2)

при : ;

при : , (2.8)

получим систему уравнений в усилиях

(1.2)

. (2.9)

Внося значения усилий (2.5) в (2.9) имеем систему разрешающих уравнений, полученную С.А. Амбарцумяном [1] относительно искомых функций ():

(1.2);

. (2.10)

Чтобы сформулировать граничные условия задачи поперечного изгиба рассмотрим контурный интеграл для края пластины х₁=const

. (2.11)

Внося значения перемещений (2.3) в (2.11) и учитывая обозначения

; (2.12)

представим его в виде:

. (2.13)

При этом обобщенные моменты (2.12) с учетом (2.4) определяются выражениями

(1.2);

. (2.14)

Принимая 17/168»1/10 выразим обобщенные моменты через обычные

; . (2.15)

С учетом (2.15) контурный интеграл (2.13) представится в виде:

. (2.16)

Определим осредненные углы поворотов поперечных сечений пластины с учетом (2.3) по формулам:

(1.2). (2.17)

Тогда контурный интеграл (2.16) выразится через основные характеристики пластин ():

. (2.18)

Приравнивая (2.18) к нулю, получим различные варианты граничных условий моделирующих крепления пластины по контуру.

Решение системы уравнений (2.10) с краевыми условиями (2.18) получено для ограниченного класса задач. В общем случае его получить невозможно.

Рассмотрим варианты уравнений, вытекающие из системы (2.10).

Первый вариант. Продифференцируем первое уравнение системы (2.10) по координате х₁, а второе – по х₂ и сложим их. В результате с учетом последнего уравнения из (2.10), получим уравнения теории типа Тимошенко [3]:

. (2.19)

Если же продифференцировать первое уравнение из (2.10) по координате х₂, а второе – по х₁ и вычесть из первого выражения второе, то получим уравнение, описывающее краевой эффект Рейсснера [14]:

;

; (2.20)

.

Последнее уравнение системы (2.10) запишем в виде:

; . (2.21)

Таким образом, система уравнений (2.10) эквивалентна трем уравнениям (2.19) - (2.21).

Чтобы определить углы сдвигов (), определяем поперечные силы из первых двух уравнений системы (2.10)

;

. (2.22)

Приравнивая поперечные силы () и (), находим углы сдвигов

; , (2.23)

где вычисляются по (2.22).

Внутренние усилия (2.5) для данного варианта имеют вид:

;

;

;

; . (2.24)

Отметим, что уравнение (2.21) превращается в уравнение (2.19) если вычислить значение функции , используя (2.23), следовательно, независимыми уравнениями для рассматриваемого варианта будут (2.20) и (2.19). Этим уравнениям соответствует контурный интеграл (2.16) при вычислении углов сдвигов по формуле (2.23).

Таким образом, путем преобразования система разрешающих уравнений (2.10) приводится к двум разрешающим уравнениям (2.19), (2.20) с общим порядком равным шести относительно двух функций ().

Достоинством данного подхода является то, что разрешающие уравнения оказались не связанными, а недостатком – функции и оказались связанными в граничных условиях.

Второй вариант. Пусть углы сдвигов выражены через функцию (2.20) следующим образом:

; , (2.25)

где параметр вычисляется по (2.20).

На основании (2.25) находим функцию по (2.20)

. (2.26)

и функцию по (2.21)

. (2.27)

Представление вида (2.25) правомерное, так как из выражения функции получается разрешающее уравнение (2.20).

Внося (2.27) в (2.21), получим , следовательно, разрешающее уравнение (2.19) имеет вид:

. (2.28)

Внося (2.25) в (2.24) получим значение внутренних усилий:

;

;

;

; . (2.29)

Контурный интеграл (16) запишется в виде:

. (2.30)

Таким образом, путем подстановки (2.25) система разрешающих уравнений (2.10) приводится к двум независимым между собой уравнениям (2.26) и (2.28) с граничными условиями (2.30), описывающими поперечный изгиб с учетом только контурных усилий. Следует отметить, что функция появляется только в том случае, когда на пластину действуют контурные нагрузки, т.е. она описывает краевой эффект пластины, поэтому данный вариант используется для ограниченного класса задач. Например, при расчете полубесконечной пластины.

Третий вариант. В научной литературе широко используется метод подстановок для решения дифференциальных уравнений. Так, например, следуя [6] выразим углы поворотов (2.17) через новые функции и :

; . (2.31)

Тогда система уравнений (2.10) преобразуется к виду:

;

; (2.32)

.

Мы пришли к системе уравнений, в той или иной форме неоднократно обсуждавшейся в научной литературе [2,10,11,12,13].

Внутренние усилия (5) запишутся так:

;

;

;

; . (2.33)

Граничный интеграл будет определяться по (2.16) с учетом (2.31). Систему (2.32) можно представить в такой форме:

;

; (2.34)

.

Такая форма представления разрешающей системы использована в расчетах трехслойных пластин в монографии [4]. При она же использована в работе [5].

Достоинством данного варианта является то, что система разрешающих уравнений (2.10) приводится к двум уравнениям относительно функции и . Причем, при для решения ограниченного класса задач можно использовать аппарат классической теории пластин. Поперечные силы, определенные из уравнений равновесия, которые входят в контурный интеграл вместо поперечных сил и имеют вид:

;

. (2.35)

При , т.е. когда краевой эффект не учитывается контурный интеграл (2.18) запишется с учетом (2.31) и (2.34) в виде:

. (2.36)

Отсюда видно, что решение уравнения (2.34) при осуществляется достаточно просто для ограниченного класса задач, главным образом, для шарнирно-опертых пластин. Задача значительно усложняется для других, более сложных случаев опирания.

Четвертый вариант. В предыдущем варианте осредненные углы поворотов поперечных сечений пластин были выражены через две новые функции. В данном варианте углы сдвигов и выразим через них:

; . (2.37)

Тогда система (2.10) приводится к виду:

;

; (2.38)

,

где коэффициент определяется по-прежнему по (2.20).

Будем считать , т.е. пластина загружена только поперечной нагрузкой (нагрузки, приложенные по контуру, отсутствуют). Взяв, оператор Лапласа от обеих частей второго уравнения с учетом третьего уравнения системы (2.38), представим систему, полученную А.Ф.Рябовым [8], (2.38) в виде:

,

(2.39)

Внутренние усилия (2.5) с учетом (2.37) при имеют вид:

,

,

. (2.40)

Контурный интеграл (2.16) с учетом (2.37) запишется следующим образом:

. (2.41)

В этом случае удается выделить функцию , т.е. она не связана с функцией не только в уравнениях, но и в граничных условиях. Расчет пластины при использовании данного варианта производится следующим образом. Вначале решается второе уравнение из (2.39) с использованием граничных условий . В результате находится функция , которая используется при решении первого уравнения из (2.39) с граничными условиями из (2.41).

К достоинствам данного варианта можно отнести тот факт, что использование системы (2.39) позволяет расширить круг решаемых задач.

Пятый вариант. Если принять, что углы сдвигов представимы в форме:

; , (2.42)

где функции и удовлетворяют условию , то система (2.10) приводится к виду (2.38) при .

Взяв оператор Лапласа от обеих частей второго уравнения системы (2.38) и изменяя через нагрузку приходим к следующей системе уравнений, полученной В.В. Пикулем [7]:

,

. (2.43)

Внутренние усилия определяются по (2.40) и имеют вид:

(1.2);

. (2.44)

При определении использовано второе уравнение из (2.38).

Контурный интеграл остается без изменения, т.е. определяется по (2.41).

Достоинством данного варианта является то, что функции и не связанные только в уравнениях, но и в граничных условиях, причем для решения первого уравнения из (2.43) можно использовать аппарат классической теории пластин. После того, как находятся искомые функции из выражения функции , вычисляется функция прогибов .

Шестой вариант. В основу данного варианта положена система (2.38), которая получена из системы (2.10) при использовании подстановки (2.37).

Анализ системы (2.38) показывает, что второе уравнение связывает функцию с функцией , а последнее уравнение этой же системы – функцию с поперечной нагрузкой . При , если функцию со второго уравнения подставить в третье уравнение, то система (2.38) преобразуется к виду:

, (2.45)

. (2.46)

Структура дифференциальной зависимости (2.45) такова, что левая часть соответствует чисто сдвиговому состоянию пластины, а правая – состоянию при совместном действии сдвига и изгиба. Ее назначение заключается в том, что переводит поперечную силу (), определенную из закона Гука в поперечную силу (), определенную из уравнения равновесия пластины.

Из (2.45) вытекает, что между функциями и существует зависимость вида:

, (2.47)

где - параметр, учитывающий влияние поперечных сдвигов.

Внося (2.47) в (2.45), получим уравнение для определения параметра :

. (2.48)

Вводя в рассмотрение параметр

, (2.49)

уравнение (2.48) представим в виде:

. (2.50)

Разрешающее уравнение, полученное из (2.46), с учетом (2.47), имеет вид [9]:

. (2.51)

Внутренние усилия (2.44) представляются в форме классической теории пластин:

(1.2)

(2.52)

(1.2)

Контурный интеграл (2.41) с учетом (2.47) запишется следующим образом:

. (2.53)

Значение параметра , определенного из (2.49) имеет вид:

. (2.54)

Отсюда видно, что параметр , переводящий функцию прогибов в функцию (2.47) зависит от собственного числа уравнения (2.50)

Отметим, что уравнение (2.50) вытекает из равенства поперечных сил и , вычисленных по (2.52).

Если потребовать, чтобы эти силы удовлетворяли уравнению равновесия пластины

,

то для определения параметра имеем уравнение четвертого порядка

. (2.55)

Его аналогом является уравнение устойчивости пластины, сжатой в двух направлениях [15]:

.

Считая, что пластина сжимается равномерно распределенной нагрузкой, т.е. полагая , имеем:

. (2.56)

Сопоставляя уравнение (2.55) с уравнением (2.56) находим:

. (2.57)

Отсюда вытекает, что параметр , входящий в формулу (2.54) является параметром нагрузки пластины, сжатой двух направлениях равномерно распределенной нагрузкой.

Уравнению (2.56) соответствует контурный интеграл (2.53) при и с поперечной силой

. (2.58)

Таким образом, для нахождения параметра нет необходимости решать уравнение (2.55), а определить его можно с помощью аналогии установленной выше.

Достоинством данного варианта является то, что решение задачи изгиба с учетом поперечных сдвигов производится методами классической теории пластин, т.е. все решения, полученные ранее, можно использовать без особых трудностей с поправочным коэффициентом () и тем самым установлена прямая связь теории пластин с учетом поперечных сдвигов с классической теорией.

Список литературы

1. Амбарцумян С.А. Теория анизотропных пластин. – 2-е изд., перераб. И доп. – М.: Наука, 1987. –360 с.

2. Власов Б.Ф. Об уравнениях теории изгиба пластин // Изв. АНСССР ОТН, 1957. - №12. – с.57-60.

3. Григолюк Э.И., Селезов И.Т. Неклассические теории колебаний стержней, пластин и оболочек // Итоги науки и техники. Механика твердого деформируемого тела. – М.: ВИНИТИ. 1973. – т.5. – 199с.

4. Григолюк Э.И., Чулков П.П. Устойчивость и колебания трехслойных оболочек. – М.: Машиностроение, 1973. –172с.

5. Королев В.И. Упругопластические деформации оболочек. – М.: Машиностроение, 1971. –304с.

6. Москаленко В.Н. К применению уточненных теорий изгиба пластинок в задаче о собственных колебаниях // Инженерный журнал. – М., 1961. – т.1. – вып.3. - с.93-101.

7. Пикуль В.В. Общая техническая теория тонких упругих пластин и пологих оболочек. –М.: Наука, 1977. – 151с.

8. Рябов О.Ф. Розрахунок багатошаро вих оболочек. – К.: Будвельник, 1968. –101с.

9. Турсунов К.А. Об одном варианте теорий изгиба трансверсально изотропных прямоугольных пластинок // Численные методы решения задач механики деформируемого твердого тела. – Караганда, 1987. – с. 92-97.

10. Уфлянд Я.С. Распространение волн при поперечных колебаниях стержней и пластин // Прикл.матем. и мех. – 1948. – т.12, - №3. – с. 287-300.

11. Bolle L. Contribution an probleme lineaire deflecsion dune plaque elastique // Bulletin technique de la Suisse Romande
- 1947. – 73/ - №21.281-285. - №22(1947). – 293-298.

12. Mindlin R.D. Influence of rotatory inertia and shear on flexural motions of isotropic elastic plates// J. Appl. Mech.
- 1951. – V18. – p. 31-38.

13. Вольмир А.С. Устойчивость деформируемых систем. – М.: Наука, 1967. –984с.