Понятие о расчете гибких пластинок

Тонкие пластинки, имеющие прогиб более четверти своей толщины, называются гибкими. Для них гипотеза о недеформируемости срединной плоскости оказывается несправедливой, так как в ней появляются деформации растяжения, сжатия и сдвига. Кроме того, усилия срединной плоскости гибкой пластинки зависят от её прогибов.

При больших прогибах точки срединной плоскости получают перемещения u₀ и υ₀ вдоль осей x и y (рис.1.11). Тогда формулы (1.5) принимают вид

Рис. 1.11

Точно так же в формулах (1.6) появляются деформации точек срединной плоскости ε⁰_x, ε⁰_y, γ⁰_xy:

Эти формулы усложняются еще и тем, что деформации точек срединной плоскости зависят от прогибов нелинейно:

(1.24)

так как в данном случае квадраты производных и имеют тот же порядок малости, что и производные и .

Рис. 1.12

Напряжения в гибкой пластинке приводятся не только к изгибающим и крутящим моментам и поперечным силам (1.11), (1.12), (1.13), но и к нормальным и сдвигающим силам в срединной плоскости (рис. 1.12):

Записанные формулы содержат неизвестные составляющие перемещений точек срединной плоскости u₀ и υ₀. Исключив эти перемещения, получим уравнение неразрывности деформаций, связывающее усилия в срединной плоскости пластинки:

(а)

Составим уравнения равновесия бесконечно малого элемента срединной плоскости гибкой пластинки, находящейся как под действием поперечных сил (см. рис. 1.5), так и под действием сил в ее срединной плоскости (рис. 1.12). Проекция сил на ось x дает

откуда после упрощения и деления на dxdy находим

(б)

Аналогично из уравнения проекций на ось y получим

(в)

Рис 1.13

При проецировании сил на ось z гибкую пластинку следует рассматривать в деформированном состоянии. На рис. 1.13 показано сечение плоскостью, параллельной xOz, бесконечно малого элемента срединной плоскости пластинки после искривления. В этой плоскости видны силы

и

углы наклона которых относительно оси x соответственно равны

и

При проектировании учтем, что косинус малого угла равен единице, а синус – самому углу, т. е. в данной плоскости

Спроецируем нормальные силы в рассматриваемой плоскости на ось z:

После упрощения и отбрасывания величин третьего порядка малости получим

(г)

Аналогично можно получить проекцию на ось z нормальных сил в плоскости yOz:

(д)

Рис. 1.14

Расположение касательных сил после деформации гибкой пластинки показано на рис. 1.14. На том же рисунке показаны углы, составляемые этими силами с координатной плоскостью xOy. Спроецируем эти силы на ось z:

После упрощения и отбрасывания величин третьего порядка малости с учетом закона парности касательных усилий (S_x = S_y = S) получим

(е)

На проекцию поперечных усилий искривление пластинки не влияет, поэтому берем ее в форме (1.15). Добавляя к этой зависимости проекции (г)-(е), разделенные на dxdy, после соответствующей группировки получаем

Выражения, стоящие в скобках, согласно соотношениям (б) и (в), равны нулю. Подставляя затем и в (1.12) выражения поперечных сил, находим

(ж)

Если ввести функцию Эри φ (x, y) в форме

(1.25)

то уравнения (ж) и (а) примут вид

(1.26)

Здесь введен оператор

(1.27)

При этом оператор L (w, w) получается из оператора (1.27) заменой функции φ на функцию w.

Система нелинейных уравнений (1.26), связывающая функцию напряжений в срединной плоскости пластинки и функцию прогибов, выведена немецким ученым Т. Карманом. Совместно с граничными условиями она представляет основную систему нелинейных дифференциальных уравнений теории гибких пластинок. Решение этой системы в общем виде не получено. В настоящее время с помощью теории гибких пластинок получен ряд частных решений для равномерно распределенной поперечной нагрузки, а также для пластинок, теряющих устойчивость при сжатии и сдвиге в их срединной плоскости.

В случае жесткой пластинки, когда прогибы малы по сравнению с ее толщиной, необходимо принять функцию φ – 0. Тогда система (1.26) сводится к уравнению (1.19).

Некоторые варианты уравнений пластины