Гармонические колебания

Колебаниями называются процессы, в той или иной степени, повторяющиеся во времени.

Изменение координаты точки при колебании можно описать уравнением

X(t) = A cos(wt+ ).

Движение, при котором координата точки изменяется по закону косинуса (или синуса) называется гармоническим колебанием.

Гармоническое колебание точки определяется тремя параметрами: А, w и φ₀.

Параметр A называется амплитудой колебаний, он равен максимальному отклонению точки от центрального положения (положения равновесия). Эта величина имеет ту же размерность, что и координата x, то есть размерность длины. Изменяющаяся величина называется фазой колебания, а величина φ ₀ - начальной фазой.

Параметр ω называется круговой (циклической) частотой колебаний. Время одного колебания T называется периодом колебаний.

Круговая частота связана с периодом колебания соотношением

.

Если период – это время одного колебания, то величина обратная периоду равна числу колебаний в единицу времени, то есть частоте колебаний

.

Связь круговой (циклической) и обычной частоты колебаний

.

Маятники

Маятник - тело, совершающее под действием переменной силы колебания.

1. Пружинный маятник — это груз массой m, который подвешен на пружине и совершает гармонические колебания под действием упругой силы F = –kx, где k — жесткость пружины.

Пружинный маятник совершает гармонические колебания по закону

х = А соs (ω₀t+φ)

с циклической частотой

и периодом

2. Физический маятник — это твердое тело, которое совершает колебания под действием силы тяжести вокруг неподвижной горизонтальной оси, которая проходит через точку О, не совпадающую с центром масс С тела.

Циклическая частота

,

При малых колебаниях физический маятник совершает гармонические колебания с циклической частотой ω₀ и периодом

,

где введена величина L=J/(m l) — приведенная длина физического маятника.

3. Математический маятник — это идеализированная система, состоящая из материальной точки массой m, которая подвешена на нерастяжимой невесомой нити, и которая колеблется под действием силы тяжести. Хорошее приближение математического маятника есть небольшой тяжелый шарик, который подвешен на длинной тонкой нити.

Поскольку математический маятник есть частный случай физического маятника, если предположить, что вся его масса сосредоточена в одной точке — центре масс, то найдем выражение для периода малых колебаний математического маятника

(6.18)