Выбор способа привлечения инвестиций на основе критерия обобщенного максимина Гурвица

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА

по дисциплине: «Экономико-математические методы и моделирование»

Вариант 10

Выполнил: ст. гр. ЗиК-311

Иванов С.А.

Проверил: к.э.н., доцент

Шульгин О.В.

ВЫПОЛНЕНИЕ РАСЧЕТНОГО ЗАДАНИЯ

Условия задания

Предприятие планирует освоить два новых вида деятельности I и II. первоначальный капитал формируется только за счет привлечения средств внешних инвесторов. Существует возможность использовать четыре способа привлечения инвестиций: выпуск акций (), выпуск акций и облигаций (), выпуск акций, облигаций и взятие ссуды в банке (), выпуск акций, облигаций, взятие ссуды в банке и трансферт государства (). Известно, что в планируемом периоде возможны четыре различных состояния инвестиционного климата (), при которых величина привлеченных каждым способом инвестиционных ресурсов будет различна. В таблице 1.1 приведены различные величины инвестиционных ресурсов, соответствующих определенному способу их привлечения и определенному состоянию инвестиционного климата.

Таблица 1.1 – Инвестиционные ресурсы (), млн. руб.

Способы привлечения инвестиций ()	Состояние инвестиционного климата ()
		6,4	7,9	7,5
	7,1	8,2	8,6	7,2
	8,7	7,6	7,4	8,2
	8,4	8,1	7,5	7,9

Необходимо определить, используя критерий обобщенного максимина Гурвица, наиболее эффективный способ привлечения инвестиций для трех вариантов прогноза изменения инвестиционного климата (оптимистического, пессимистического и умеренного), а также соответствующие данным прогнозам величины привлеченных инвестиционных ресурсов К..

Далее необходимо на основе принципа Беллмана для пессимистического прогноза разработать оптимальный план () на пять лет расходования привлеченных инвестиционных ресурсов по видам деятельности I и II. Оптимальным считается такой план, при котором суммарный доход () от обоих видов деятельности за пять лет будет максимальным (). При этом необходимо учесть следующие условия:

- новых инвестиционных средств в течение пяти лет не поступает;

- доход в производство не вкладывается, а накапливается отдельно;

- вложение средств в деятельность I обозначается х;

- вложение средств в деятельность II обозначается y;

- годовой доход от деятельности I обозначается ;

- годовой доход от деятельности II обозначается ;

- по истечении каждого года средства амортизируются (уменьшаются) так, что к концу года становятся равными для деятельности I , а для деятельности II ;

- по истечение года оставшиеся инвестиционные средства перераспределяются заново между видами деятельности I и II;

- функции дохода и затрат представлены в таблице 1.2.

Таблица 1.2 – Функции дохода и затрат по видам деятельности, млн. руб.

Функции дохода и затрат по видам деятельности, млн. руб.

Вид функции	Вид деятельности
I	II
Функция дохода
Функция затрат

Выбор способа привлечения инвестиций на основе критерия обобщенного максимина Гурвица

Формализованное выражение применения критерия обобщенного максимина следующее:

(1.1)

где k – коэффициент, рассматривающийся как показатель степени пессимизма выбора решения.

Рассчитаем показатель для следующих значений показателя пессимизма: k = 0; ( оптимистический прогноз); k = 0,5 (умеренный прогноз); k = 1 (пессимистический прогноз).

При k = 0:

(млн. руб.);

(млн. руб.);

(млн. руб.);

(млн. руб.).

В соответствии с формулой (1.1) выбираем наибольшее значение. Таким значением является значение млн. руб. Следовательно, наилучшим решением при данном значении показателя пессимизма будет выбор способа инвестирования .

При k = 0,5:

(млн. руб.);

(млн. руб.);

(млн. руб.);

(млн. руб.).

В соответствии с формулой (1.1) выбираем наибольшее значение. Таким значением является значение млн. руб. Следовательно, наилучшим решением при данном значении показателя пессимизма будет выбор способа инвестирования .

При k = 1:

(млн. руб.);

(млн. руб.);

(млн. руб.);

(млн. руб.).

В соответствии с формулой (1.1) выбираем наибольшее значение. Таким значением является значение млн. руб. Следовательно, наилучшим решением при данном значении показателя пессимизма будет выбор способа инвестирования . Для него характерна величина привлеченных инвестиционных ресурсов млн. руб.

Разработка оптимального плана инвестирования средств по пессимистическому прогнозу

Сформулируем в формализованном виде задачу нашего примера.

Имеется - начальное количество средств, которые нужно распределять в течение лет между двумя видами деятельности I и II. Средства, вложенные в каждый вид деятельности, приносят за год определенный доход. Если вложить средства в вид деятельности I, то за год получим доход , если вложить средства в вид деятельности II, то за год получим доход . При этом средства амортизируются (уменьшаются) так, что к концу года становятся равными для вида деятельности II < , а для вида деятельности II - < .

По истечении года оставшиеся от средства перераспределяются заново между видами деятельности I и II. Новых средств не поступает, доход в производство не вкладывается, а накапливается отдельно. Найти такой способ управления ресурсами (какие средства, в какие годы и в какой вид деятельности вкладывать), при котором суммарный доход от обоих видов деятельности за лет будет максимальным. Управлением на i –ом шаге будут количества средств вкладываемые в вид деятельности I и II на этом шаге. Управление операцией состоит из совокупности всех пошаговых управлений:

. Нам нужно найти такое (оптимальное) управление

, при котором суммарный доход был бы максимальным, то есть .

Рассматривается пятилетний период, то есть .

Функция дохода для каждого вида деятельности равны:

, и

Функции затрат равны:

и

Начальный капитал равен млн. руб.

Выигрыш на i – ом шаге равен:

(1.2)

где то есть

Состояние системы перед – м шагом характеризуется одним параметром - количеством средств, сохранившихся после предыдущих i – 1 шагов. Управление состоит в определении и Под влиянием этого управления система на i – м шаге перейдет из состояния в состояние :

Тогда основное функциональное уравнение запишется следующим образом:

(1.3)

Запишем уравнение (1.3) с выраженными для нашего случая функциями дохода и затрат:

(1.4)

Условный оптимальный выигрыш на - м шаге будет иметь вид:

(1.5)

Найдем максимум этой функции. Для этого дифференцируем по и приравниваем производную к нулю:

решая данное уравнение, получаем точку экстремума:

Так как вторая производная > ,

то, согласно второго достаточного признака экстремума, это точка минимума, а нам нужно определить максимум. Поэтому определим значение функции на концах отрезка :

,

то есть принимает максимальное значение при и .

Таким образом, максимальный доход на последнем году достигается, если в начале его все средства вложить во второй вид деятельности.

Теперь построим функцию условного выигрыша для четвертого этапа, он складывается из выигрыша за четвертый год и условного оптимального выигрыша за пятый год:

(1.6)

Заменяем функцию на получим:

, (1.7)

где - сумма оставшихся средств, если за четвертый год было израсходовано в I - й вид деятельности и во II вид деятельности, то есть ,

тогда (1.8)

Продифференцировав и приравняв производную нулю , получим: , отсюда экстремум будет в точке , так как вторая производная , то, значит, это точка минимума, а нам нужно определить максимум. Поэтому определим значение функции на концах отрезка :

Таким образом, принимает максимальное значение при и , при этом условный оптимальный выигрыш за четвертый год составит .

Аналогично рассуждая, построим условный оптимальный выигрыш за третий год, он складывается из выигрыша за третий год и условного оптимального выигрыша за четвертый год:

(1.9)

Заменяем функцию на , получим:

, (1.10)

где - сумма оставшихся средств, если за третий год было израсходовано в I – й вид деятельности и во II – й вид деятельности, то есть

,

тогда (1.11)

Продифференцировав и приравняв производную нулю , получим, что экстремум будет в точке . Здесь так же вторая производная больше нуля, значит, это точка минимума, максимум же будем искать на концах отрезка :

Таким образом, принимает максимальное значение при и , при этом условный оптимальный выигрыш за третий год составит . На этом этапе для достижения максимального дохода все средства в начале третьего года следует вложить в развитие I - ого вида деятельности.

Проделаем процедуру вычисления условного оптимального выигрыша для второго года, он складывается из выигрыша за второй год и условного оптимального выигрыша за третий год:

(1.12)

Заменяем функцию на , получим:

(1.13)

где - сумма оставшихся средств, если за второй год было израсходовано в I – ом виде деятельности и во II – ом виде деятельности, то есть

,

тогда (1.14)

Продифференцировав и приравняв производную нулю , получим, что экстремум будет в точке . Здесь так же вторая производная больше нуля, значит, это точка минимума, максимум же будем искать на концах отрезка :

Таким образом, принимает максимальное значение при и , при этом условный оптимальный выигрыш за второй год составит . На этом этапе для достижения максимального дохода все средства в начале второго года следует вложить в развитие I – ого вида деятельности.

И, наконец, вычислим условный оптимальный экстремум за первый год, он складывается из выигрыша за первый год и условного оптимального выигрыша за второй год:

(1.15)

Заменяем функцию на , получим

, (1.16)

где - сумма оставшихся средств, если за первый год было израсходовано в I – й вид деятельности и во II - ой вид деятельности, то есть

,

тогда (1.17)

Продифференцировав и приравняв производную нулю , получим, что экстремум будет в точке . И здесь вторая производная больше нуля, это значит, что найдена точка минимума, максимум же будем искать на концах отрезка :

Таким образом, принимает максимальное значение при и , при этом условный оптимальный выигрыш за первый год составит . На этом этапе для достижения максимального дохода в начале первого года следует вложить в развитие I – ого вида деятельности.

На этом предварительная стадия закончена. Переходим к окончательной стадии.

Нам известно, что . Тогда . Это значит, что оптимальный выигрыш за все пять лет будет равен 65,61 млн. руб. Так как все средства в начале первого года выгоднее вкладывать в I – й вид деятельности, то есть , то их количество уменьшается до величины , тогда перед началом второго года млн. руб.

Оптимальный выигрыш за все годы, начиная со второго, до последнего будет равен млн. руб. В начале второго года все оставшиеся средства также вкладывались в I – й вид деятельности, то есть млн. руб. Тогда к концу второго года или на начало третьего года средств осталось млн. руб.

Оптимальный выигрыш за все годы, начиная с третьего, до последнего будет равен млн. руб. В начале третьего года все оставшиеся средства также вкладывались в I – й вид деятельности, то есть млн. руб. Тогда к концу третьего года или на начало четвертого года средств осталось млн. руб.

Оптимальный выигрыш за все годы, начиная с четвертого, до последнего будет равен млн. руб. В начале четвертого года все оставшиеся средства вкладывались во II – й вид деятельности, то есть млн. руб. Тогда к концу четвертого года или на начало пятого года средств осталось млн. руб.

Оптимальный выигрыш за последний пятый год будет равен млн. руб. В начале пятого года все оставшиеся средства также вкладывались во II – ой вид деятельности, то есть млн. руб. Тогда к концу пятого года средств осталось млн. руб.

Сведем результаты динамического процесса в таблицу 1.3.

Таблица 2.3. – Оптимальный план распределения инвестиционных средств, млн. руб.

Год
	5,4		3,348	65,61
	3,348		2,07	28,58
	2,07		1,28	11,2
		1,28	0,49	3,6
		0,49	0,1862	0,77

Как видно из таблицы, начальный капитал израсходован почти полностью. За пятый год выигрыш равен 0,77 млн. руб., за четвертый и пятый годы – 11,2 млн. руб., за второй, третий, четвертый и пятый годы выигрыш равен 28,58 млн. руб., а за все пять лет суммарный выигрыш составил 65,61 млн. руб.