Типичные фазовые портреты автономных САР

Описание свойств нелинейных САР удобно проводить с помощью т.н. фазовых портретов. Обычно такие портреты строятся для автономных систем второго порядка, поскольку для этого достаточно двумерного пространства, плоскости.

Фазовый портрет автономной системы это семейство параметрических траекторий в системе координат т.н. переменных состояния, в частности это могут быть такие величины: производная выходной величины - выходная величина САР. Переменные состояния, связанные операцией дифференцирования, называются фазовыми переменными САР. Каждая траектория фазового портрета определяется заданными начальными условиями, параметром траектории является время.

Фазовые траектории линейных систем в некотором смысле эквивалентны их переходным или весовым функциям, но более наглядно представляют всю совокупность свойств САР, поскольку отражают ее поведение при различных начальных условиях. Но для нелинейной системы теряет смысл понятие "переходная функция" и фазовый портрет остается единственным графическим инструментом представления динамики поведения нелинейной системы. В более общем случае на фазовом портрете отображаются т.н. переменные состояния, не обязательно связанные между собой простой операцией дифференцирования, т.е. не являющиеся фазовыми переменными.

Необходимым, но недостаточным, условием работоспособности САР, построенной из линейных элементов, является ее устойчивость в автономном режиме (при нулевых задании и возмущении). Для САР, содержащей существенно нелинейные звенья, необходимым условием работоспособности кроме того может являться устойчивость автоколебаний в контуре, причем амплитуда таких колебаний должна быть меньше требуемой ошибки слежения и стабилизации. Динамические процессы в автономно работающей САР развиваются (или затухают) при наличии начальных запасов энергии, расходующейся на это, и ее поступления извне, в случае неустойчивости. В моделях автономной САР наличию таких запасов энергии соответствуют ненулевые начальные условия, задаваемые начальными значениями выходных сигналов интеграторов модели.

Естественно, устойчивость или неустойчивость САР проявляется и при воздействиях на нее, но изучать собственно устойчивость САР, безотносительно к качеству ее работы в режиме регулирования, удобнее на автономной модели.

Фазовые портреты практически всех работоспособных САР с релейным управлением в автономном режиме могут иметь только один из трех видов, близких к представленным справа на рисунке:

Рис. 2.1.1. Фазовые портреты (верхний ряд) и соответствующее поведение выходных величин (нижний ряд) САР, обеспечивающих слежение и стабилизацию. Слева направо:
- устойчивый фокус в начале координат, свойственный фазовому портрету линейной САР;
- устойчивый фокус в одной из точек зоны нечувствительности САР с релейным регулятором,
- устойчивый цикл с центром в начале координат на фазовом портрете САР с релейным регулятором;
- устойчивый узел на фазовом портрете САР с релейным регулятором.
Левая пара осциллограмм соответствует линейной САР, остальные - нелинейным с релейными регуляторами. Фазовые траектории линейной САР стремятся к началу координат (устойчивый фокус). Фазовые траектории нелинейных САР стремятся к началу координат, приближаясь, но не достигая его: либо к зоне нечувствительности, которая должна быть меньше, чем величина допустимой ошибки регулирования, либо переходят в устойчивый цикл, размеры которого также меньше допустимых ошибок.
Правая пара осциллограмм показывает как можно ускорить переходный процесс введением в контур дифференцирующего звена, в результате чего отображающая состояние САР точка способна ускоренно скользить к началу координат (устойчивый узел), со временем переходя в устойчивый микроцикл или останавливаясь в зоне нечувствительности САР. Основание для включения скользящего режима в один из трех основных режимов поведения САР с релейными регуляторами состоит в том, что такая САР позволяет не только ускорить переход в конечное состояние объекта управления, но и стабилизировать неустойчивый объект.
В нижнем ряду приведены осциллограммы, на которых показано поведение выходной, управляемой величины y₁ каждой САР с течением времени. Это поведение, за исключением третьего примера, где намеренно для наглядности показаны установившиеся автоколебания заметной, значительной амплитуды, близко к монотонно-апериодическому, что и требуется при настройке САР на оптимум. Свободное поведение выходной величины y₁ САР определяется начальными условиями и быстродействием САР

Рассмотрим приведенные выше фазовые портреты и осциллограммы подробнее.

Линейная САР

Как видно, фазовые траектории линейной САР (левые осциллограммы), функционирующей в автономном режиме, стремятся к началу координат, т.е. ее фазовый портрет имеет устойчивый фокус в начале координат. Можно показать, что САР с релейным регулятором практически не может иметь такого фокуса, разве что "случайно" отображающая точка попадет в зоне нечувствительности точно в начало координат при некоторых значениях начальных условий.