Конформное отображение

КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ - взаимно однозначное отображение областей n -мерного евклидова пространства, сохраняющее углы между кривыми. К. о. в каждой точке обладает свойством постоянства растяжений по разл. направлениям. При n= З любое (гладкое) К. о. является суперпозицией вращения, растяжения, сдвига и спец. К. о. "инверсии": х_i - (х_i-х_i)/

,

i = l,. .., п, где, х ° =(х⁰ ₁,..., х ⁰ _п) - нек-рая фиксированная точка n -мерного пространства. Совокупность этих преобразований образует (n +1) (n +2)/2-параметрич. конформную группу.

При n =2 множество К. о. разнообразнее. В этом случае двумерную плоскость R² удобно реализовать как пространство С комплексных чисел z=x+iy. Добавляя к С бесконечно удалённую точку, рассматривают также К. о. областей расширенной комплексной плоскости . Отображение области D на область D* расширенной комплексной плоскости конформно тогда и только тогда, когда оно либо задаётся нек-рой аналитической функцией f(z), определённой и однолистной в D, и такой, что , либо является суперпозицией описанного преобразования и комплексного сопряжения. В первом случае К. о. сохраняет не только величины углов, но и их знаки; во-втором - знаки углов меняются на противоположные. Любые две односвязные области D и D* в , границы к-рых состоят из более чем одной точки, конформно эквивалентны. При этом для произвольных точек z₀ из D и из и произвольного вещественного числа существует одна и только одна аналитич. и однолистная в D ф-ция f (z), такая, что f(D)=D*, f (z ₀)= z* ₀, arg = (теорема Римана).

К. о. двумерных областей переводит всякое решение Лапласа уравнения снова в решение ур-ния Лапласа. Другими словами, если - гармонич. ф-ция в области D *, а ф-ция f(z) = u(x, y)+i (x, у)конформно отображает область D на D*, то ф-ция , (х, у)] есть гармонич. ф-ция в области D. Этим обусловлено применение К. о. в задачах электростатики, гидро- и аэродинамики и др.