Понятие комплексного числа, действия над комплексными числами

Уже простейшие алгебраические операции над действительными числами (извлечение квадратного корня из отрицательного числа, решение квадратного уравнения с отрицательным дискриминантом) выводят за пределы множества действительных чисел. Дальнейшее обобщение понятия числа приводит к комплексным числам. Замечательным свойством множества комплексных чисел является его замкнутость относительно основных математических операций. Иначе говоря, основные математические операции над комплексными числами не выводят из множества комплексных чисел.

Комплексным числом (в алгебраической форме) называется выражение

где – произвольные действительные числа, – мнимая единица, определяемая условием .

Число называется действительной частью комплексного числа , обозначается (от латинского «realis»), число называется мнимой частью комплексного числа и обозначается (от латинского «imaginarius»).

Два комплексных числа и равны тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части: , . Два комплексных числа равны либо не равны (понятия «больше» и «меньше» для комплексных чисел не вводятся).

Комплексно-сопряженным к числу называется число .Очевидно, комплексно–сопряженное число к числу совпадает с числом : .

Арифметические операции. Сложение, вычитание и умножение комплексных чисел производят по обычным правилам алгебры.

Пусть , . Тогда сумма , разность , произведение , частное (при )

Умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической форме. Пусть числа и заданы в тригонометрической форме: , . Перемножим их:

.

Вспоминая формулы для косинуса и синуса суммы двух углов, получаем

. (1)

Мы видим, что при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются. Геометрический смысл этой операции: представляя числа и векторами на комплексной плоскости, исходящими из нуль-точки, видим, что вектор получается из вектора «растяжением» в раз и поворотом на угол .

Для частного получаем формулу:

. (2)

Возведение комплексного числа в степень. Из формулы (1) следует, что возведение в степень комплексного числа производится по правилу

. (3)

Извлечение корня из комплексного числа. Если комплексные числа и связаны соотношением , то . Представим числа и в тригонометрической форме:

, .

Будем считать, что здесь – главное значение аргумента числа .

Наша задача – по заданному числу (т.е. по известным и ) определить (т.е. и ). В соответствии с формулой (3) равенство запишется в виде

.

Из равенства двух комплексных чисел в тригонометрической форме следует:

.

Здесь – корень - ой степени из действительного неотрицательного числа. Значит, для корня -ой степени из комплексного числа получаем формулу

. (5)

Полагая последовательно , получим различных значений :

,

,

…………………………………………………

.

Все эти корни имеют одинаковые модули , т.е. соответствующие точки располагаются на окружности радиуса с центром в начале координат. Аргументы двух соседних корней отличаются на угол . Значит, все значения корня -ой степени из комплексного числа находятся в вершинах правильного -угольника, вписанного в окружность радиуса .

Показательная форма комплексного числа. Формула Эйлера (будет доказана позже):

, (6)

позволяет записать комплексное число в показательной форме:

, где .

Из формулы Эйлера и из -периодичности синуса и косинуса следует:

.

Значит, , т.е. .