В дифференциальной форме

Рассмотрим изотропный однородный проводник, в котором упо-рядоченное движение носителей тока происходит в направлении вектора . Тогда направления векторов и совпадают. Выделим мысленно в окрестности некоторой точки проводника элементарный объем в виде цилиндра с образующими, параллельными векторам и (рис.6.6). Через поперечное сечение цилиндра течет ток силой . Напряжение, приложенное к цилиндру, равно , где - напряженность поля в данной точке. Сопротивление цилиндра, согласно

формуле (6.5), равно . Подставив эти выражения в формулу (6.4) и учитывая, что для однородного проводника напряжение , получим:

Воспользовавшись тем, что векторы и имеют одинаковое направление, можно написать

. (6.11)

Обратная величина называется удельной электрической проводимостью материала. Единицей является сименс на метр (См/м).

Введем удельную тепловую мощность :

она определяет количество теплоты dQ, выделяемое в элементарном (бесконечно малом) объеме dV, расположенном вблизи точки, взятой внутри проводника, за малое время dt.

Для рассматриваемого здесь вывода вместо элементарных значений dQ, dV, dt можно подставить их конечные значения Q, V, t и, используя закон Джоуля-Ленца (6.10), получим

(6.12)

Формулы (6.11) и (6.12) представляют собой дифференциальную форму законов Ома и Джоуля-Ленца.

В случае неоднородного участка цепи, когда в проводнике одновременно действуют сторонние и кулоновские силы, формулы (6.11) и (6.12) примут вид:

Правила Кирхгофа

Расчет разветвленных цепей значительно упрощается, если пользоваться правилами, сформулированными Кирхгофом. Этих правил два. Первое из них относится к узлам цепи. У з л о м называется точка, в которой сходится более чем два проводника (рис. 6.7). Ток, текущий к узлу, считается имеющим один знак (плюс или минус), текущий от узла – имеющий другой знак (минус или плюс).

Первое правило Кирхгофа гласит, что алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю:

(6.13)

Например, для рис. 6.7 первое правило Кирхгофа запишется так:

.

Уравнение (6.13) можно написать для каждого из N узлов цепи. Однако независимыми являются только N -1 уравнений, N -е будет следствием из них.

Второе правило относится к любому выделенному в разветвленной цепи замкнутому контуру (см., например, контур 1-2-3-4-1 на рис.6.7). Зададимся направлением обхода (например, по часовой стрелке, как указано на рис.6.7) и применим к каждому из неразветвленных участков контура закон Ома:

При сложении этих выражений потенциалы сокращаются, и получится уравнение

(6.14)

которое выражает второе правило Кирхгофа.

Рис.6.7. К первому правилу Кирхгофа	Рис. 6.8 Ко второму правилу Кирхгофа

Уравнение (6.14) может быть составлено для всех замкнутых контуров, которые можно выделить мысленно в данной разветвленной цепи. Однако независимыми будут только уравнения для тех контуров, которые нельзя получить наложением других контуров друг на друга. Так, например, для цепи, изображенной на рис.6.7, можно составить только три уравнения:

1) для контура 1-2-3-4-1;

2) для контура 2-3-4-2;

3) для контура 1-2-4-1.

При расчете цепей по правилам Кирхгофа необходимо:

1) выбрать произвольное направление токов на всех участках цепи; действительное направление токов определяется при решении задачи: если искомый ток получится положительным, то его направление было выбрано правильно, отрицательным – его истинное направление противоположно выбранному;

2) выбрать направление обхода контура и строго его придерживаться; произведение IR положительно, если ток на данном участке совпадает с направлением обхода, и наоборот, ЭДС, действующие по выбранному направлению обхода, считаются положительными, против – отрицательными;

3) составить столько уравнений, чтобы их число было равно числу искомых величин (в систему уравнений должны входить все сопротивления и ЭДС рассматриваемой цепи); каждый рассматриваемый контур должен содержать хотя бы один элемент, не содержащийся в предыдущих контурах, иначе получатся уравнения, являющиеся простой комбинацией уже составленных.