Задачи для самостоятельного решения. 1. Вероятность работы каждого из четырех комбайнов без поломок в течение определенного времени равна 0,9

1. Вероятность работы каждого из четырех комбайнов без поломок в течение определенного времени равна 0,9. Составить закон распределения случайной величины X - числа комбайнов, работавших безотказно. Построить функцию распределения вероятностей. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение случайной величины X.

2. Вероятность рождения мальчика равна 0,515. Составить закон распределения случайной величины X -числа мальчиков в семьях, имеющих четырех детей. Построить функцию распределения вероятностей. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение случайной величины X.

3. Вероятность того, что покупатель совершит покупку в магазине 0,4. Составить закон распределения случайной ве­личины X - числа покупателей, совершивших покупку, если магазин посетило 3 покупателя. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение случайной величины X. Построить график функции распределения вероятностей.

4. В группе из 10 спортсменов 6 мастеров спорта. Отбирают (по схеме без возвращения) 3 спортсмена. Составить закон распределения случайной величины X - числа мастеров спорта из отобранных спортсменов. Найти математическое ожидание случайной величины X.

5. Стрелок производит выстрелы по цели до первого попадания. Составить закон распределения случайной величины X - числа выстрелов, сделанных стрелком. Вероятность попадания в цель при каждом выстреле составляет 0,7.

6. Покупатель посещает магазины до момента приобретения нужного товара. Вероятность того, что товар имеется в определенном магазине, составляет 0,4. Составить закон распределения случайной величины X - числа магазинов, которые посетит покупатель из четырех возможных. Построить функцию распределения. Найти наиболее вероятное число магазинов, которые посетит покупатель.

7. Игрок поочередно покупает билеты двух разных лотерей до первого выигрыша. Вероятность выигрыша по одному билету первой лотереи составляет 0,2, а второй - 0,3. Игрок вначале покупает билет первой лотереи. Составить закон распределения и найти математическое ожидание случайной величины X - числа купленных билетов, если игрок имеет возможность купить только 5 билетов.

8. На конноспортивных соревнованиях необходимо преодолеть четыре препятствия с вероятностями, равными соответственно 0,9; 0,8; 0,7; 0,6. При первой неудаче спортсмен в дальнейших состязаниях не участвует. Составить закон распределения случайной величины X - числа взятых препятствий. Найти математическое ожидание случайной величины X.

9. Вероятность попадания в цель первым стрелком равна 0,9, вторым - 0,8 и третьим - 0,7. Составить закон распределения случайной величины X - числа попаданий в цель, если каждый стрелок производит по одному выстрелу. Определить математическое ожидание случайной величины X.

10. Вероятность успешной сдачи экзамена первым студентом составляет 0,7, а вторым - 0,8. Составить закон распределения случайной величины X - числа студентов, успешно сдавших экзамен, если каждый из них может пересдать один раз экзамен, если он его первый раз не сдал. Найти математическое ожидание случайной величины X.

11. Предприниматель рассматривает возможность покупки акций трех предприятий, по каждому из которых известна доходность, как отношение величины получаемого дохода за период времени к цене акции, и вероятности возможных значений доходности. Акции какого предприятия следует считать более доходными, если руководствоваться средним значением (математическим ожиданием) доходности?

Акции какого предприятия являются менее рискованными, считая, что чем выше среднее квадратичное отклонение доходности акций, тем больше их рискованность?

12. Бросают 12 игральных костей. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение случайной величины X - суммы числа очков, которые могут появиться на всех выпавших гранях.

13. Независимые случайные величины X и Y имеют следующие распределения:

Составить закон распределения случайных величин: a) Z = X + Y; б) V = XY. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение случайных величин Z и V.

14. В бригаде два звена тракторов. В первом звене 3 трактора, причем вероятность безотказной работы каждого из них в течение смены равна 0,9. Во втором звене 2 трактора, вероятность безотказной работы первого из них равна 0,8, а второго - 0,7. Составить закон распределения случайной величины X - числа тракторов, работавших безотказно в бригаде. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение случайной величины X.

15. Дискретная случайная величина X принимает три возможных значения: х ₁=1с вероятностью р_i =0,2; х ₃=5 с вероятностью 0,3 и x ₂ с вероятностью р ₂. Найти x ₂и р ₂, если известно, что М [ Х ]=3.

16. Вероятность сдать экзамен студентом на «отлично» равна 0,3, на «хорошо» - 0,4. Определить вероятности получения других оценок (2; 3), если известно, что М [ Х ]=3,9.

17. Для следующих случайных величин:а) найти р_i, б) построить многоугольник распределения, в) записать функцию распределения, г) построить график функции распределения, д) найти М (X), D (X), σ(X).

а)

б)

в)

г)

д)

е)

ж)