Закон распределения дискретных случайных величин

Пусть X – дискретная случайная величина, которая принимает значения x ₁, x ₂,..., х_n с некоторой вероятностью p_i, где i =1, 2, …, n. Тогда можно говорить о вероятности того, что случайная величина X приняла значение x_i: . Закон распределения дискретной случайной величины Х удобно записывать в видетаблицы (табл. 1.2.1), где перечислены возможные (различные) значения этой случайной величины x ₁, x ₂,..., х_n и вероятности их появления :

Таблица 1.2.1

Основное свойство таблицы

Такой способ задания ДСВ называют рядом распределения.

Закон распределения можно изобразить графически. Для этого рассмотрим совокупность пар (x ₁, р ₁), (x ₂, р ₂), …, (x_n, р_n). Нанесем точки с этими координатами на плоскость и соединим их поочередно отрезками прямых линий. Полученная фигура называется многоугольником расnределения (рис. 1.2.1.)

Рис. 1.2.1. Многоугольник распределения

Функцией расnределения случайной величины Х называется функция F(x), определяющая для каждого аргумента x вероятность того, что случайная величина X принимает значения меньшие чем x, т.е. F (x) = Р (Х < х). Это вероятность того, что случайная величина X попала в интервал (-∞, x).

Для дискретных случайных величин функция распределения F (x) есть разрывная ступенчатая функция, непрерывная слева.

Пример 1. Пусть задана дискретная случайная величина своим законом распределения (табл. 1.2.2). По закону распределения записать функцию распределения, построить график функции распределения, построить многоугольник распределения.

Таблица 1.2.2

Решение. Найдем для нее функцию распределения. Это будет функция, заданная следующим предписанием:

Построим график функции распределения (рис. 1.2.2):

Рис. 1.2.2

Над случайными величинами устанавливаются операции сложения и умножения.

1. Суммой двух случайных величин Х и Y называется случайная величина, которая получается в результате сложения всех значений случайной величины X и всех значений случайной величины Y, соответствующие вероятности перемножаются.

2. Произведением двух случайных величин Х и Y называется случайная величина, которая получается в результате перемножения всех значений случайной величины Х и всех значений случайной величины Y, соответствующие вероятности перемножаются.

Одинаковые значения СВ можно записать один раз, предварительно сложив соответствующие вероятности.

Пример 2. Заданы законы распределения случайных величин X и Y (табл. 1.2.3 и табл. 1.2.4). Построить ряд распределения случайной величины: X + Y; X · Y.

Таблица 1.2.3

Таблица 1.2.4

Решение. Находим сумму всех значений СВ X со всеми значениями СВ Y. Соответствующие вероятности перемножаем.

Полученную совокупность возможных значений величины X + Y необходимо упорядочить по возрастанию. Если среди получившейся совокупности значений есть одинаковые, то в таблице оставляем только разные, а соответствующие вероятности суммируем. Результат записываем в таблицу 1.2.5.

Таблица 1.2.5

Аналогично находим произведение случайных величин (табл. 1.2.6).

Таблица 1.2.6