Пространство элементарных событий. Алгебра событий

Одним из основных понятий теории вероятностей является оnыт. Под оnытом понимается выполнение комплекса условий, в результате которого происходят или не происходят определенные события (факты).

Простейшие неразложимые результаты опыта называются элементарными событиями (ω _i), а вся совокупность элементарных событий называется nространством элементарных событий Ω={ω _i }. С каждым опытом связано свое пространство элементарных событий Ω. Например, игральная кость подбрасывается один раз. Элементарные события: w₁ – появление 1, w₂ – 2, w₃ – 3, w₄ – 4, w₅ – 5, w₆ – 6. Пространство элементарных событий W={w₁, w₂, w₃, w₄, w₅, w₆}.

Любое конечное или счетное подмножество Ω, называется событием. Различают три типа событий:

1) достоверные, которые всегда произойдут в результате опыта (Ω);

2) случайные, могут либо произойти в результате опыта, либо нет;

3) невозможные, никогда не произойдут в результате опыта (0 или ).

События обычно обозначают первыми прописными буквами латинского алфавита: A, В, С,....

События A и В несовместны, если в результате одного опыта они не могут происходить одновременно, в противном случае - совместны. Например, при одном подбрасывании монеты не могут одновременно появиться герб и решка.

Элементы последовательности событий A ₁, A ₂ ,..., A_n nоnарно несовместны, если любые два из них несовместны. Например, при подбрасывании игральной кости никакие два элементарные исхода (появление цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6) не могут произойти одновременно.

Несколько событий равновозможны, если ни одно из них не имеет объективного преимущества перед другими. Например, элементарные исходы при подбрасывании монеты, игральной кости.

События А ₁, A ₂ ,..., A_n образуют nолную груnnу, если в результате опыта кроме этих событий ничего не может произойти.

Приведем примеры полных групп событий:

- выигрыш и проигрыш в лотерее для одного лица;

- выпадение «герба» и «цифры» при бросании одной монеты;

- появление числа очков 1, 2, 3, 4, 5, 6 в опыте с игральной костью;

- появление четной или нечетной цифры в том же опыте.

Обычно Ω изображают на плоскости в виде некоторой области, а ω_i в виде точек этой области, устанавливая, таким образом, соответствие между событиями и точечными множествами.

Для действий над событиями вводятся операции, совпадающие с операциями над множествами: сумма, произведение, отрицание.

Суммой событий A и В называется такое третье событие A + В (или A È В), которое заключается в наступлении хотя бы одного из событий или А, или В (рис. 1.1.1).

Если A и В несовместны, то появление обоих вместе отпадает и сумма сводится к появлению любого из событий, безразлично какого (рис.1.1.1). Можно складывать несколько событий.

Рис. 1.1.1. Сумма событий

Разберем это на следующих примерах.

Пример 1. Опыт: вынимают наугад одну карту из колоды. События: A – появление червоной масти, В – появление бубновой масти. A и В - несовместные события. Сумма событий:

S = A + B - появление красной масти (безразлично какой).

Пример 2. Дана часть электрической цепи (рис. 1.1.2). События: R ₁ – обрыв первого сопротивления, R ₂ – обрыв второго сопротивления. S = R ₁ + R ₂ – обрыв цепи между точками C и D. В данном случае R ₁ и R ₂ - совместные события, поэтому под их суммой подразумевается обрыв хотя бы одного сопротивления (последовательное соединение), т.е. первого или второго, либо обоих вместе.

Рис. 1.1.2. Иллюстрация к примеру 2

Пример 3. Опыт: бросают игральную кость. События: A – выпадение цифры 1, В – выпадение цифры 3, С – выпадение цифры 5. A, В, С – несовместные события. S = A + B + C – появление нечетной цифры, т. е. выпадение либо 1, либо 3, либо 5.

Пример 4. Опыт: проводят соревнования по футболу, баскетболу и волейболу. События: A – друзья пошли на футбол, В – друзья пошли на баскетбол, С – друзья пошли на волейбол. A, В, С – несовместные события.

S = A + B + C – друзья пошли на соревнования.

Если в условиях данного опыта несколько событий A ₁, A ₂,…, A_n образуют полную группу, то их сумма является достоверным событием.

Произведением двух событий A и В называется такое третье событие A·В (или A ∩ В), которое заключается в наступлении событий A и В одновременно. Если события A и В несовместны, то A×В =Æ (рис. 1.1.3).

Рис. 1.1.3. Произведение событий

Пример 5. Опыт: вынимают наугад одну карту из колоды. События: A – появление туза, В – появление бубновой масти.

C = A · В – появление бубнового туза.

Пример 6. Опыт: бросание трех монет.

События:

A ₁ – выпадение «герба» на первой монете,

В ₁ – выпадение «решки» на первой монете,

A ₂ – «герб» на второй монете,

В ₂ – «решка» на второй монете,

A ₃ – «герб» на третьей монете,

В ₃ – «решка» на третьей монете.

C = A ₁ · A ₂ · A ₃ - герб на трех монетах;

C = В ₁ · В ₂ · В ₃ - решка на трех монетах.

Если события несовместны, то их произведение - невозможное событие.

Отрицанием события A называется событие (не A), заключающееся в ненаступлении события A ( Æ, ). Причем, если в результате опыта может произойти событие A, то может произойти и обратное ему событие (рис. 1.1.4).

Рис. 1.1.4. - отрицание события А

Пример 7. Проводят следующий опыт: один выстрел по мишени. В этом случае событие A – попадание в десятку, противоположное событие` – непопадание в десятку.

Если наступление события A приводит к наступлению события В и наоборот (наступление В влечет наступление A), то события A и В равны (A = В).

Пусть S - множество всех подмножеств Ω, для которого выполняются следующие свойства:

1)если A Î S и В Î S, то А + В = А È В Î S,

2) если А Î S и В Î S, то А×В = А Ç В Î S,

3) если , то , тогда множество S называется алгеброй событий или s -алгеброй.