Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Формулы длин дуг плоских кривых ⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 3 1) Если L – длина кривой, заданной уравнением , , то L= 2) Если L – длина кривой, заданной параметрическими уравнениями , , , то L= 3) Если L – длина кривой, заданной в полярной системе координат уравнением , , то L= . 3. Формулы объёмов тел вращения 1) Если – объём тела, полученного вращением криволинейной трапеции , , вокруг оси Ох, то . 2) Если – объём тела, полученного вращением криволинейной трапеции , , вокруг оси Оу, то Формулы площадей поверхностей вращения Если – площадь поверхности, образованной вращением кривой, заданной уравнением , , вокруг оси Ох, то . Если – площадь поверхности, образованной вращением кривой, заданной уравнением , , вокруг оси Оу, то . ЗАДАНИЯ РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКОЙ РАБОТЫ Вариант № 1 1. 2. 3. 4. 5. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость . 6. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями: а) ; б) в) (вне кардиоиды). Выполнить схематический чертеж. 7. Вычислить длину дуги кривой, заданной: а) уравнением б) параметрическими уравнениями 8. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной графиками функций вокруг оси Ох.
Вариант № 2 1. 2. 3. 4. 5. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость . 6. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями: а) ; б) в) (вне кардиоиды). Выполнить схематический чертеж. 7. Вычислить длину дуги кривой, заданной: а) уравнением б) параметрическими уравнениями 8. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной графиками функций вокруг оси Оу.
Вариант № 3 1. 2. 3. 4. 5. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость . 6. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями: а) ; б) в) (вне кардиоиды). Выполнить схематический чертеж. 7. Вычислить длину дуги кривой, заданной: а) уравнением б) параметрическими уравнениями 8. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной графиками функций вокруг оси Ох. Вариант № 4 1. 2. 3. 4. 5. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость . 6. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями: а) ; б) в) (вне кардиоиды). Выполнить схематический чертеж. 7. Вычислить длину дуги кривой, заданной: а) уравнением б) параметрическими уравнениями 8. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной графиками функций , вокруг оси Оу. Вариант № 5 1. 2. 3. 4. 5. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость . 6. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями: а) ; б) в) (вне окружности). Выполнить схематический чертеж. 7. Вычислить длину дуги кривой, заданной: а) уравнением б) параметрическими уравнениями 8. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной графиками функций , вокруг оси Ох. Вариант № 6 1. 2. 3. 4. 5. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость . 6. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями: а) ; б) в) (вне кардиоиды). Выполнить схематический чертеж. 7. Вычислить длину дуги кривой, заданной: а) уравнением б) параметрическими уравнениями 8. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной графиками функций , вокруг оси Оу. Вариант № 7 1. 2. 3. 4. 5. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость . 6. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями: а) ; б) в) (вне кардиоиды). Выполнить схематический чертеж. 7. Вычислить длину дуги кривой, заданной: а) уравнением б) параметрическими уравнениями 8. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной графиками функций , вокруг оси Ох. Вариант № 8 1. 2. 3. 4. 5. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость . 6. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями: а) ; б) в) (вне кардиоиды). Выполнить схематический чертеж. 7. Вычислить длину дуги кривой, заданной: а) уравнением б) параметрическими уравнениями 8. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной графиками функций , вокруг оси Оу. Вариант № 9 1. 2. 3. 4. 5. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость . 6. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями: а) ; б) в) (вне кардиоиды). Выполнить схематический чертеж. 7. Вычислить длину дуги кривой, заданной: а) уравнением б) параметрическими уравнениями 8. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной графиками функций , вокруг оси Ох. Вариант № 10 1. 2. 3. 4. 5. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость . 6. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями: а) ; б) в) (вне окружности). Выполнить схематический чертеж. 7. Вычислить длину дуги кривой, заданной: а) уравнением б) параметрическими уравнениями 8. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной графиками функций , вокруг оси Оу. Вариант № 11 1. 2. 3. 4. 5. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость . 6. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями: а) ; б) в) (вне кардиоиды). Выполнить схематический чертеж. 7. Вычислить длину дуги кривой, заданной: а) уравнением б) параметрическими уравнениями 8. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной графиками функций , вокруг оси Ох. Вариант № 12 1. 2. 3. 4. 5. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость . 6. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями: а) ; б) в) (вне кардиоиды). Выполнить схематический чертеж. 7. Вычислить длину дуги кривой, заданной: а) уравнением б) параметрическими уравнениями 8. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной графиками функций , вокруг оси Оу. Вариант № 13 1. 2. 3. 4. 5. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость . 6. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями: а) ; б) в) (вне кардиоиды). Выполнить схематический чертеж. 7. Вычислить длину дуги кривой, заданной: а) уравнением б) параметрическими уравнениями 8. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной графиками функций , вокруг оси Ох. Вариант № 14 1. 2. 3. 4. 5. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость . 6. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями: а) ; б) в) (вне кардиоиды). Выполнить схематический чертеж. 7. Вычислить длину дуги кривой, заданной: а) уравнением б) параметрическими уравнениями 8. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной графиками функций , вокруг оси Оу. Вариант № 15 1. 2. 3. 4. 5. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость . 6. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями: а) ; б) в) (вне окружности). Выполнить схематический чертеж. 7. Вычислить длину дуги кривой, заданной: а) уравнением б) параметрическими уравнениями 8. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной графиками функций , вокруг оси Ох. Вариант № 16 1. 2. 3. 4. 5. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость 6. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями: а) ; б) в) (вне кардиоиды). Выполнить схематический чертеж. 7. Вычислить длину дуги кривой, заданной: а) уравнением б) параметрическими уравнениями 8. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной графиками функций , вокруг оси Оу. Вариант № 17 1. 2. 3. 4. 5. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость . 6. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями: а) ; б) в) (вне окружности). Выполнить схематический чертеж. 7. Вычислить длину дуги кривой, заданной: а) уравнением б) параметрическими уравнениями 8. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной графиками функций , вокруг оси Ох. Вариант № 18 1. 2. 3. 4. 5. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость . 6. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями: а) ; б) в) (вне окружности). Выполнить схематический чертеж. 7. Вычислить длину дуги кривой, заданной: а) уравнением б) параметрическими уравнениями 8. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной графиками функций , вокруг оси Оу. Вариант № 19 1. 2. 3. 4. 5. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость . 6. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями: а) ; б) в) (вне окружности). Выполнить схематический чертеж. 7. Вычислить длину дуги кривой, заданной: а) уравнением б) параметрическими уравнениями 8. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной графиками функций , вокруг оси Ох. Вариант № 20 1. 2. 3. 4. 5. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость . 6. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями: а) ; б) в) (вне окружности). Выполнить схематический чертеж. 7. Вычислить длину дуги кривой, заданной: а) уравнением б) параметрическими уравнениями 8. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной графиками функций , вокруг оси Оу. Вариант №21. 1. 2. 3. 4. 5. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость . 6. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями: а) ; б) в) (вне окружности). Выполнить схематический чертеж. 7. Вычислить длину дуги кривой, заданной: а) уравнением б) параметрическими уравнениями 8. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной графиками функций , вокруг оси Ох. Вариант № 22 1. 2. 3. 4. 5. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость . 6. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями: а) ; б) в) (вне окружности). Выполнить схематический чертеж. 7. Вычислить длину дуги кривой, заданной: а) уравнением б) параметрическими уравнениями 8. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной графиками функций , вокруг оси Оу. Вариант № 23 1. 2. 3. 4. 5. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость . 6. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями: а) ; б) в) (вне окружности). Выполнить схематический чертеж. 7. Вычислить длину дуги кривой, заданной: а) уравнением б) параметрическими уравнениями 8. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной графиками функций , вокруг оси Ох. Вариант № 24 1. 2. 3. 4. 5. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость . 6. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями: а) ; б) в) (вне окружности). Выполнить схематический чертеж. 7. Вычислить длину дуги кривой, заданной: а) уравнением б) параметрическими уравнениями 8. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной графиками функций , вокруг оси Оу. Вариант № 25 1. 2. 3. 4. 5. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость . 6. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями: а) ; б) в) (вне окружности). Выполнить схематический чертеж. 7. Вычислить длину дуги кривой, заданной: а) уравнением б) параметрическими уравнениями 8. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной графиками функций , вокруг оси Ох. Вариант № 26 1. 2. 3. 4. 5. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость . 6. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями: а) ; б) в) (вне окружности). Выполнить схематический чертеж. 7. Вычислить длину дуги кривой, заданной: а) уравнением б) параметрическими уравнениями 8. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной графиками функций , вокруг оси Оу. Вариант № 27 1. 2. 3. 4. 5. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость . 6. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями: а) ; б) в) (вне окружности). Выполнить схематический чертеж. 7. Вычислить длину дуги кривой, заданной: а) уравнением б) параметрическими уравнениями 8. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной графиками функций , вокруг оси Ох. Вариант № 28 1. 2. 3. 4. 5. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость . 6. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями: а) ; б) в) (вне окружности). Выполнить схематический чертеж. 7. Вычислить длину дуги кривой, заданной: а) уравнением б) параметрическими уравнениями 8. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной графиками функций , вокруг оси Оу. Вариант № 29 1. 2. 3. 4. 5. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость . 6. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями: а) ; б) в) (вне кардиоиды). Выполнить схематический чертеж. 7. Вычислить длину дуги кривой, заданной: а) уравнением б) параметрическими уравнениями 8. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной графиками функций , вокруг оси Оx. Вариант № 30 1. 2.
3. 4. 5. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость . 6. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями: а) ; б) в) (вне окружности). Выполнить схематический чертеж. 7. Вычислить длину дуги кривой, заданной: а) уравнением б) параметрическими уравнениями 8. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной графиками функций , вокруг оси Оу. Вариант № 0 1. 2. 3. 4. 5. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость . 6. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями: а) ; б) ; в) (вне окружности). Выполнить схематический чертеж. 7. Вычислить длину дуги кривой, заданной: а) уравнением б) параметрическими уравнениями 8. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной графиками функций вокруг оси Оy. РЕШЕНИЕ ВАРИАНТА № 0 № 1 – № 4. Вычислить определенные интегралы. Решение 1. Ответ: 2. При сведении данного интеграла к табличному используем преобразования дифференциала (операция «подведение под знак дифференциала»): Ответ: 3. Используя формулу интегрирования по частям: , имеем: Ответ: 4. Введем новую переменную t: Подынтегральное выражение представляет собой дробно-рациональную функцию, у которой степень числителя больше, чем степень знаменателя, поэтому необходимо разделить числитель на знаменатель в столбик.
Ответ: № 5. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость . Решение По определению несобственного интеграла = = = . Ответ: . № 6. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями: а) Решение 1) – парабола с вершиной в точке , . Вычислим точки пересечения параболы с заданной прямой :
Тогда фигура примет вид: 2) = . Ответ: кв. ед. б) Решение Построим фигуру, ограниченную заданными линиями: Очевидно, что фигура является симметричной относительно оси Оу, следовательно, вычислим половину искомой площади S1. Причем целесообразно воспользоваться следующей формулой вычисления площади: . Выразим х через у: ; . В нашем случае для площади S1: , . Тогда Ответ: кв. ед.
в) (вне окружности). Решение Построим фигуру, ограниченную заданными линиями:
Воспользуемся формулой вычисления площади фигуры, ограниченной линиями, заданными в полярной системе координат:
= . Ответ: кв. ед. № 7. Вычислить длину дуги кривой, заданной: а) уравнением Решение Используем формулу . Пределами интегрирования будут . Найдем и подставим в формулу: Ответ: лин. ед.
б) параметрическими уравнениями Решение Используем формулу . Найдем и подставим в формулу: Ответ: 6 лин. ед.
№ 8. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной графиками функций вокруг оси Оy. Решение Строим тело вращения по заданным линиям.
Объем полученного тела вращения равен сумме объемов составляющих его тел V=V1+V2. Для вычисления объема тела используем формулу Для V1 имеем: . Для V2 имеем: . Следовательно, Ответ: π куб. ед.
Список рекомендуемой литературы
1. Бугров Я. С., Никольский С. М. Высшая математика: учебник для вузов. Т. 1 – М: Дрофа, 2005. –284 с. 2. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике.– М.: 2001. 3. Высшая математика для экономистов: учебник для вузов/ Под ред. Н.Ш. Кремера.– М.: ЮНИТИ, 2001. 4. Высшая математика в упражнениях и задачах: учеб. пособие для вузов с решениями. Т. 1/ П. Е. Данко, А. Г. Попов, Г.Я. Кожевникова, С. П. Данко.– М.: ОНИКС, Мир и образование, 2008.– 368 с. 5. Подольский В.А., Суходский А.М., Мироненко Е.С. Сборник задач по математике: учеб. пособие. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Высшая школа, 1999. 6. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. Ч.1. – 3-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2004. – 288 с. 7. Сборник задач по высшей математике для экономистов: учеб. пособие / Под ред. В.И. Ермакова. – М.: ИНФРА-М, 2001. – 575 с. 8. Сборник задач по математике для втузов / Под ред. А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.– М.: 1986, 1987. 9. Шипачев В. С. Высшая математика: учебник для вузов. – М.: Высшая школа, 2007. - 479 с. 10. Шипачев В. С. Задачник по высшей математике: учеб. пособие для вузов. – М.: Высшая школа, 2007. – 304 с. Математика
Составители: Данович Лариса Михайловна Пергун Ольга Владимировна Круглова Инна Александровна Колесникова Елена Алексеевна
Компьютерная верстка Пергун О. В.
Редактор И. С. Маркосова ________________________________________________________________ Подписано в печать Формат 60´841/16. Бумага оберточная №1. Офсетная печать. Печ.л. л. 3,5 Тираж экз. Усл.печ.л. 3,2 Изд.№ Уч.-изд.л. 2,4 Заказ № Цена руб.
Лицензия на издательскую деятельность: ИД № 02586 от 18.08.2000 года. Издательство КубГТУ: 350072, Краснодар, ул.Московская, 2, кор.А
Лицензия на полиграфическую деятельность: ПД № 10-47020 от 11.09.2002г. Типография КубГТУ:350058, Краснодар, ул.Старокубанская, 88/4.
|