Определенный интеграл как предел интегральной суммы

Содержание

Введение

Математика соединяет в себе полярно противоположные элементы – логику и интуицию, анализ и конструкцию, общность и конкретность, совместное действие и синтез которых обеспечивает высокую ценность математической науки. Колоссальное прикладное значение имеют дифференциальное и интегральное исчисления.

Предлагаемая расчетно-графическая работа содержит 30 вариантов, в каждом из которых по восемь заданий, охватывающих основные вопросы темы «Определенный интеграл». Указанные задачи предназначены для повторения и закрепления изученного материала, а также для самостоятельной работы студентов, которая является важнейшим условием для усвоения теоретического и практического курса.

Предлагаемые методические указания включают справочный материал и основные формулы, относящиеся к данному разделу математики, а также подробное решение аналогичных задач нулевого варианта. В конце приведены ответы к каждому заданию всех вариантов.

СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ

Определенный интеграл как предел интегральной суммы.

Пусть у = f(x) – непрерывная функция на [a;b], (a<b). Выполним следующие действия:

1. Разобьем отрезок точками x₀ = a < x₁ < … < x_n = b на n частичных отрезков [x₀;x₁], [x₁;x₂],…,[x _n-1; x _n ].

2. В каждом частичном отрезке [x _i-1;x _i ] выберем произвольную точку и вычислим значение функции в ней .

3. Составим сумму . Сумма такого вида называется интегральной суммой функции y = f(x) на отрезке [a;b].

4. Обозначим через – длину наибольшего частичного отрезка.

5. Найдем предел интегральной суммы, когда n→∞, т.е. :

.

Если существует конечный предел интегральной суммы при и он не зависит ни от способа разбиения на элементарные части, ни от выбора , то этот предел называется определенным интегралом функции f(x) на отрезке [a;b] и обозначается .

Свойства определенного интеграла.

1⁰. .

2⁰. .

3⁰.

4⁰. Свойство аддитивности определенного интеграла:

5⁰. Если [a;b] , то .

7⁰. Если [a;b], то

8⁰. Теорема об оценке определенного интеграла.

Пусть функция у=f(x) непрерывна на [a;b], ; , тогда

9⁰. Теорема о среднем

Пусть функция у=f(x) непрерывна на [a;b], тогда существует хотя бы одна точка такая, что .

Теорема. Формула Ньютона – Лейбница.

Пусть f(x) – непрерывна на [a;b]; F(x) – некоторая ее первообразная на [a;b], тогда