I. Дөңес анализ элементтері

Дәрістің қысқаша мазмұны

1-дәріс. Дөңес анализ элементтері. Дөңес жиын, дөңес функция. Дөңес жиындардың бөлінуі. Жиындағы нүкте проекциясы

1. Жалпы мәліметтер Кейбір анықтамаларды келтірейік. шартын қанағаттандыратын -дағы нүктелер жиынын центрі нүктесінде жатқан және радиусы r болатын гипершар деп аталады. Бұл нүктелердің барлығы а нүктесінен r-ге тең немесе кіші қашықтықта орналасқан. а нүктесінің өзі гипершарға тиісті, өйткені

Жазықтықта (яғни Е²-де) гипершар шеңбердің барлық нүктелерін, ал кәдімгі үш өлшпемді кеңістікте (Е³) радусы r және центрі а нүктесінде орналасқан шар нүктелерін құрайды. Сондықтан осындай нүктелер жиыны n-өлшемді кеңістікте гипершар деп аталады.

гипершарының ішкі нүктелері а нүктесінің r -аймағын құрайды.

Кейбір жиының нүктелері осы жиынның ішкі нүктелері деп аталады, егер ол жиынға оның қандай да бір жақтаулары арқылы тиісті болса.

Кеңістік нүктесі кейбір нүктелер жиынына қатысты сыртқы деп аталады, егер ол қандай да бір жақтаулары арқылы бұл жиынға тиісті болмаса.

Жиын нүктесі шекті деп аталады, егер оның жақтауларының кез-келгенінде жиынға тиісті де, тиісті емес те нүктелері болса. Бұл анықтамалардың жазықтықтағы геометриялық түрі 1-суретте берілген.

Барлық шектік нүктесі бар жиын тұйық деп аталады.

Тұйық жиындардың мысалы: гипержазықтық, жартылай жазықтық, түзу, сәуле, кесінді. М жиыны шектелген деп аталады, егер жиынның нүктелерінен тәуелсіз саны бар болса, берілген жиынның кез-келген векторының модулі d санынан кіші: барлық үшін . Жазықтықта және кәдімгі кеңістікте де көрсетілген нүктелер жиыны шексіз созылатын шектелмеген жиынға (2-сурет) қарама-қарсы шекті аймақты (3-сурет) алып жатады. Тұйықтық және шектелу түсініктерін айыру керек. Жиын тұйық, бірақ шектелмеген және керісінше, шектелген, бірақ тұйық емес болады.

2-сурет 3-сурет

Дөңес жиын түсінігін енгізейік.Геометрияда дөңес фигуралар белгілі: нүктелері өздерін шектеп тұрған кез-келген кесіндінің немесе оның жалғасының бір жағында орналасқан көпбұрыштар; барлық нүктелері шектік сызыққа жүргізілген кез-келген жанаманың бір жағында орналасқан қисық сызықты фигуралар (шеңбер, эллипс және тағы басқалар) (3 сурет).Кеңістікте дөңес денелер кездеседі: барлық нүктелері жазықтықтың кез-келген жанамасы немесе қабырғасының бір жағында орналасқан көпжақтар, шар, эллипсоид және басқалар (4-сурет).Осыған ұқсас денелер бір ортақ қасиетке ие: егер олардың кез-келген екі нүктесін алып, кесіндімен жалғастырса, онда бүкіл кесінді фигураға немесе денеге тиісті болады. Дөңес емес денелер және фигуралар мұндай қасиетке ие емес (5-сурет). Дөңес денелер мен фигуралардың осы қасиеті n өлшемді кеңістіктегі дөңес жиындардың анықтамасына негіз етіп алынған.

4-сурет 5-сурет 6-сурет

Жиын дөңес деп аталады, егер ол өзінің екі кез-келген Р және Q нүктелерімен PQ кесіндісінің барлық нүктелерін қамтыса.

Демек, қарапайым дөңес жиын кесінді болып табылады. 6 және 7 суретте келтірілген фигуралар және денелер сәйкесінше Е² және E³ –теорналасқан дөңес жиындарға мысал болып табылады.

Дөңес жиындардың аналитикалық анықтамасын келесі түрде жазуға болады: егер Р және Q — М дөңес жиынының екі нүктесі болса (, деп жазылады ), онда мұндағы нүктесі сол жиынына тиісті.

Жиынның нүктесі шектік деп аталады, егер ол жиынға түгелдей тиісті кесіндінің ешқайсысына ішкі болып табылмаса.

Егер берілген жиында кез келген екі Р және Q нүктелерін алсақ, онда осы жиынның S шектік нүктесі аналитикалық шартын қанағатандыруы керек ( өзгеру шектері қатаң теңсіздікпен беріледі, әйтпесе S PQ кесіндісінің ішкі нүктесі бола алмайды ).

Шектік нүкте жиынның кесіндісіне ұшы ретінде тиісті болуы мүмкін. 6-суретте S', S" нүктелері шектік бола алмайды, өйткені олардың әрқайсысына осы нүктелер ішкі болып табылатын жиынға бүтіндей тиісті P'Q', P"Q" кесіндісі табылады. S нүктесі шекті, өйткені кесінді бұл нүктені өзінің ішінде қамтиды.

Дөңес көпбұрыш немесе көпжақ үшін шектікнүктесі оның төбелері болып табылады (шектік жиын); дөңес емес көпбұрыштың әрбір төбесі шекті бола бермейді (7-суреттегі R нүктесі). Ұқсастық бойынша n-өлшемді кеңістікте шектік нүктелерінің соңғы саны бар жиын көпжақ деп аталады. Шеңбер, эллипс, дөңгелек, шар және басқа да қисық сызықты шектері бар басқа да жиындар шектік нүктенің шексіз санына ие, өйткені олардың шеттерінің кез-келген нүктесі шектік болып табылады (8-сурет). Жиынның шектік нүктесі болмауы да мүмкін, мысалы түзу, жартылай жазықтық, r-доға.

Шеткі нүкте әрқашан шектік болады, ал шектік нүкте шеткі болмайды.

7-сурет. 8-сурет.

Дөңес тұйық жиындар үшін келесі жағдай орындалады. Егер көрсетілген М жиынының р₀ шектік нүктесін алса, онда осы нүктені қамтитын

гипержазықтығы бар болады, ал жиынның барлық қалған нүктелері берілген гипержазықтық арқылы пайда болған жартылай жазықтықтың бірінде жатады.

Барлық үшін және немесе

ие боламыз.Қарастырылып отырған жиын үшін мұндай жиын гипержазықтық таяныш деп аталады. Шектік нүктеде, әсіресе көпжақтың төбелерінде таяныш гипержазықтықтар көп, тіпті біреу болуы мүмкін (9 суреттегі Р'₀ нүктесі). Бұл сөйлем толық курстарда таяныш гипержазықтық туралы теоремамен беріліп, қатаң дәлелденді.

9-сурет. 10-сурет.

Теорема 1. Жартылай жазықтық дөңес жиын болып табылады.

Бірнеше жиынның ортақ бөлігі олардың қиылысуы деп аталды. Жиындардың қиылысу нүктесі біруақытта қиылысқан жиындардың барлығына тиісті.

Теорема 2. Дөңес жиындардың қиылысуы дөңес жиын болып табылады.

Салдар. Жартылай жазықтықтардың қиылысуы дөңес жиын болып табылады.