Вопрос № 41. Выпуклость и вогнутость функции. Точки перегиба

Если соединить любые 2 точки графика хорды при этом все остальные точки графика лежат выше, то кривая выпуклая.

Если соединить любые 2 точки графика хорды при этом все остальные точки графика лежат ниже, то кривая вогнутая.

Р/м признаки выпуклости и вогнутости

Теорема: Пусть ф – ия y=f(x) дважды дифференцируема на промежутке х, если f ` ` (x) >0, то ф – ия вогнутая, если f ` ` (x) <0, то ф – ия выпуклая.

Пусть дана ф – ия y=f(x), которая определена и непрерывна на промежутке х большом и пусть х0 внутренняя точка данного промежутка.

Назовем х0 точкой перегиба ф – ий, если при переходе через нее ф – ия меняет выпуклость на вогнутость и наоборот.

Необходимое условие существование точке перегиба:

Теорема: Пусть ф – ия y=f(x), непрерывна и дважды дифференцируема в окрестности точки х0. Тогда х0 – точка перегиба ф – ии, то f ` ` (x0) =0

Достаточное условие существование точек перегиба:

Теорема: Пусть ф – ия y= f (x), непрерывна в некоторой окрестности точки х0 и дважды дифференцируема во всех точек этой окрестности, кроме может быть самой точки х0 если, f ` `(x0) =0, или f ` `(х) не существует к точке х0, и при переходе через значении х0, вторая производная меняет знак, то х0 – точка перегиба.