Вопрос № 39. Исследование функции на монотонность

Теорема 1. Если во всех точках открытого промежутка X выполняется неравенство f′(x)≥0(причем равенство f′(x)=0 выполняется лишь в отдельных точках и не выполняется ни на каком сплошном промежутке), то функция y=f(x)) возрастает на промежутке X.

Теорема 2. Если во всех точках открытого промежутка X выполняется неравенство f′(x)≤0(причем равенство f′(x)=0 выполняется лишь в отдельных точках и не выполняется ни на каком сплошном промежутке), то функция y=f(x) убывает на промежутке X.

Итак:

если существует производная функции в интервале (a,b) и в данном интервале

1) f'(x)≥0, то функция в нём не убывает;

2) f'(x)≤0, то функция в нём не возрастает;

3) f'(x)>0, то функция в нём возрастает;

4) f'(x)<0, то функция в нём убывает.

Пример:

Необходимо исследовать интервалы монотонности функции f(x)=x3−4x2−16x+17.

Сначала находим производную: f'(x)=(x3−4x2−16x+17)'=3x2−8x−16.

Это парабола, которая пересекает ось x в точках x1=−43 и x2=4 и чьи ветви направлены вверх. Поэтому производная отрицательна в интервале (−43;4) (функция убывает) и положительна в интервалах (−∞;−43) и (4;+∞) (функция возрастает).

Ответ: функция f(x)=x3−4x2−16x+17 возрастает в интервалах (−∞;−43) и (4;+∞), убывает в интервале (−43;4).