Плоский напружений стан

Теоретичні відомості

Напруження – міра інтенсивності внутрішніх сил, розподілених по перерізу, чисельно рівна зусиллю, віднесеному до одиниці площі

перерізу. Одиницею напруження є Паскаль (Па).

У кожній точці перерізу пов- не напруження Р можна розкласти на нормальне напруження у, перпе- ндикулярне площині перерізу, і до- тичне ф, що лежить в площині пе- рерізу (рис. 9). Для зручності ф роз- кладають на дві складових, напрями яких паралельні координатним осям.

Рис. 9. Розкладання вектора повного напруження

Нормальному напруженню надається індекс, що показує, якій координатній осі це напруження паралельне. У позначенні дотичного напруження перший індекс вказує, якій осі перпендикулярна дана пло- щинка, а другий – якій осі паралельне дане напруження.

Нормальне напруження, що розтягує, вважається додатним, а що стискає – від’ємним. Таке на- пруження виникає при спробах ча- сток матеріалу віддалитися або зблизитися одна з одною. Дотичне напруження пов'язане із зсувом часток матеріалу в площині перері- зу.

Рис. 10. Система напружень в точці

Напружений стан – сукупність нормальних і дотичних напру- жень, що діють по всіх площинках, які проходять через вибрану точку тіла. Щоб дослідити напружений стан тіла в певній точці, виділяють з цього тіла безмежно малий елемент так, щоб дана точка була розміщена всередині цього елемента. Елемент орієнтують таким чином, щоб його сторони були паралельні до вибраних координатних осей (рис. 10).

Напружений стан у будь-якій точці може вважатися відомим як- що заданий тензор напружень {у}, який являє собою матрицю напру- жень:

æ s t t ö

ç x xy xz ÷

{ s } = ç tyx sy tyz ÷

ç ÷

ç t t s ÷

è zx 2 zy 4 z ø

Тензор напружень позбавлений фізичного змісту, такий зміст мають лише його компоненти. Певні комбінації компонент тензора напружень є інваріантними відносно вибору системи координат (не залежать від вибору системи). Тому інваріанти є основними характеристиками на- пруженого стану в точці.

Закон парності дотичних напружень: складові дотичних на- пружень на двох взаємно перпендикулярних площинках, що перпенди- кулярні спільному ребру, рівні по величині і протилежні по знаку, тобто обидві направлені або до ребра, або від нього:

tху

= tyx; tхz

= tzx; tyz

= tzy.

Таким чином, напружений стан в точці можна вважати заданим, якщо відомо шість складових напружень на трьох взаємно перпендикулярних площинках.

Головні площинки – площинки, на яких дотичні напруження дорі- внюють нулеві.

Головні напруження – нормальні напруження, що діють на голо- вних площинках. Залежно від того, скільки головних напружень відмін- ні від нуля, відрізняють об’ємний (рис. 11, а), плоский (рис. 11, б) і лі- нійний напружені стани.

Рис. 11. Види напруженого стану.

Плоский напружений стан – виникає тоді, коли одна із трьох компонент головних напружень дорівнює нулеві.

Задачі аналізу плоского напруженого стану:

1. Пряма – за відомими головними напруженнями визначити нормальні й дотичні напруження, що виникають на заданій площинці.

2. Обернена – за відомими нормальними й дотичними напруженнями, що виникають на довільних перпендикулярних площинках, знайти по- ложення головних площинок і визначити величину головних напружень.

Рекомендації до розв’язання задачі №4

При розв’язанні задачі треба обов’язково дотримуватися правила знаків:

- нормальне напруження є додатним в тому випадку, коли воно викликає розтяг;

- дотичне напруження вважають додатним, якщо воно намагаєть- ся повернути частину елемента, що розглядається, відносно будь-якої точки всередині неї, за годинниковою стрілкою.

Приклад розв’язання задачі №4

Сталевий кубик (рис. 12) знаходиться під дією сил, що створюють плос- кий напружений стан (один з трьох компонентів головного напруження дорівнює нулю). Потрібно знайти:

- головні напруження і напрям головних площинок;

- максимальні дотичні напруження, що дорівнюють більшій половині різниці головних напружень;

- відносні деформації еx, еy, еz;

- відносну зміну об'єму;

- питому потенційну енергію деформа- ції.

Рис. 12. Плоский напружений стан

Вихідні дані: уб = 300 МПа, ув = 300 МПа, фб = фв = 300МПа, м = 0,3, Е = 2∙105 МПа.

1) Визначаємо головні напруження і напрям головних площинок. Згідно малюнка: уб = -300 МПа, ув = 300 МПа, фб = -300МПа, фв = 300МПа.

По формулі

s = 1é s

1,3 2 êë

a + sb ± ùú

s = 1 é- 300 + 300 +

1 2 êë

s = 1 é- 300 + 300 -

3 2 êë

ù= 424,3 МПа,

û

2) Максимальні дотичні напруження

t max

= 1 (s

2 1

- s 3

) = 1 (424,3 + 424,3) = 424,3 МПа.

2

3) Находим относительные деформации

e 1 =

1 (s

Å 1

- m (s 2

+ s 3

)) =

Times;105

(424,3 - 0,3×(- 424,3))

= 276 ×10 -5,

e = 1 (s

2 Å 2

- m (s 3

+ s 1)) =

Times;105

(0 - 0,3×(- 424,3 + 424,3)) = 0,

e = 1 (s

3 Å 3

- m (s 1

+ s 2

)) =

Times;105

(- 424,3 - 0,3 × (424,3 + 0))

= -276 ×10-5.

4) Относительное изменение объема

e =1 - 2 m (s

V E 1

+ s 2

+ s3

) = 1 -2 ×0,3(424,3 + 0 + 424,3) = 0.

2 ×105

5) Удельная потенциальная энергия деформации:

и = 1 [ s 2 + s 2 + s 2 - 2 m (s s

+ s s + s s

)]= 1

2 Е 1 2 3

1 2 2 3 3 1

Times; 2 ×105

[424,32 + (-424,3)2 - 2 × 0,3× 424,3× (-424,3)]= 1,17 МДж.

Контрольне завдання №4

Сталевий кубик знаходиться під дією сил, що створюють плоский напружений стан (одне з трьох головних напружень дорівнює нулю).

Потрібно знайти:

1) головні напруження і напрям головних площинок; 2) максимальні дотичні напруження, що дорівнюють більшій половині різниці головних напружень; 3) відносні деформації еx, еy, еz; 4) відносну зміну об'єму; 5)

питому потенційну енергію деформації. Прийняти м = 0,3 и Е = 2∙105

МПа. Дані узяти з табл. 4.

Таблиця 4

Контрольні питання

1. Що називається напруженим станом у точці тіла?

2. Що таке тензор напружень?

3. Які площинки і напруження називаються головними?

4. Назвіть види напруженого стану. За яким критерієм напружений стан поділяється на ці види?

5. Сформулюйте постановку прямої задачі при аналізі плоского напру- женого стану?

6. Сформулюйте постановку оберненої задачі при аналізі плоского на- пруженого стану?

5. Кручення

Теоретичні відомості

Кручення характеризується наявністю в стержні єдиного внутрі- шнього силового чинника – крутного моменту, тобто моменту, що діє в площині поперечного перерізу стержня. Інші компоненти внутрішніх сил дорівнюють нулю:

QX = QУ

= N = 0;

M X = MУ

= 0.

Поширеним стержневим елементом конструкцій машин, що пра- цює на кручення, є вал. При вивченні чистого кручення приймають на- ступні гіпотези кручення:

1. Поперечні перерізи залишаються плоскими і паралельними до і після деформації, а відстані між ними не міняються.

2. Радіуси поперечних перерізів не змінюють своєї довжини і не скривлюються.

3. Величини моментів і деформацій, відповідають лінійній ділянці діаграми кручення, для якої справедливий закон Гуку.

Крутний момент в деякому перерізі валу є рівнодійним моментом дотичного напруження ф, що діє в елементарних майданчиках dF, роз- ташованих на відстані с від центру перетину. Його можна виразити рів- нянням

Мкр = ò rt rdF.

F

(5.1)

Формула для визначення відносного кута закручування валу має вигляд

q = dj = Mêð, (5.2)

dz GJr

де GJс - жорсткість поперечного перерізу стержня при крученні – має розмірність Н∙см2 або Н∙м2.

Повний кут закручування валу довжиною рівний

L

j = ò

Mкр

dz = ql =

Mкрl

, (5.3)

0 GJr GJr

де GJс/l - жорсткість валу при крученні – має розмірність Н∙см або Н∙м.

Дотичне напруження в будь-якій точці перерізу стержня:

Мкрr

tr =. (5.4)

J r

Максимальне дотичне напруження, вочевидь, буде

t max= t r =

Mкрr J r

= Mкр

Wr

, (5.5)

тут Wс - полярний момент опору перерізу.

Для суцільного круглого валу діаметром d максимальне дотичне напруження

t max =

16 Mкр

pd 3

. (5.6)

Для трубчастого круглого валу з співвідношенням діаметрів с = d/D

t = 16 Mкр, (5.7)

max pD 3(1 - c 4)

Умова міцності при крученні валу записується у вигляді

t max

= кр £[ t ]. (5.8)

Закручуючий момент можна виразити через потужність (кВт) і число обертів за хвилину, наприклад

Mскр

= 30 N, (Н × м). (5.9)

pn

Якщо потужність N задана в кінських силах, то необхідно перевести в систему СІ: 1 к. с. = 0,736 кВт.

Окрім розрахунку на міцність вали розраховують також і на жор- сткість, обмежуючи відносні кути закручування деякою граничною ве- личиною [и] (умова жорсткості при крученні):

q max

= MКР

GJ P

£ [ q ]. (5.10)

Рекомендації до розв’язання задачі №5

При вирішенні завдань на кручення необхідно звернути увагу на наступне:

1. Сума всіх моментів, що діють на вал, дорівнює нулю, тобто вал обе- ртається рівномірно.

2. При побудові епюр моментів, використовують метод перерізів.

3. При підборі діаметрів валу з умов міцності і жорсткості призначаєть- ся найбільший, розмір якого округляється в більшу сторону і кратний 5.

4. При підборі розрахункової схеми розташовують шківи так, аби ма- ксимальний момент в перерізі валу був меншим за інші можливі схеми.

Приклад розв’язання задачі №5

Визначити з розрахунків на міцність і жорсткість необхідні роз- міри поперечного перерізу валу в двох варіантах: а) переріз – круг, б) переріз – кільце з відношенням внутрішнього діаметру до зовнішнього с

= 0,7 (рис. 13). Відстань між шківами а = 0,5 м.

Переріз валу по всій довжині вважати постійним. Прийняти [фк]

= 25 МПа и [ц0] = 0,5 град/м. Вал обертається з постійною кутовою швидкістю щ = 23 рад/с. Потужності на ведених шківах N2 = 22 кВт, N3

= 14 кВт, N4 = 12 кВт. Модуль пружності другого роду G = 4∙104 МПа. Вибрати найбільш раціона-

льну послідовність розташування шківів на валу.

Рис. 13. Схема валу

Знаходимо закручуючі моменти на кожному з ведених шківів:

М = N 2

= 22 = 0,955 кН × м, М

= N 3 = 14 = 0,609 кН × м,

2 w

М = N 4

4 w

23 3

КН × м).

w 23

Знайдемо закручуючий момент на шківі, що веде. Оскільки вал оберта-

ється з постійною швидкістю, то умова рівноваги

S М =0.

Þ М 1 - М 2 - М 3 - М 4 = 0.

М 1 = М 2 + М 3 + М 4 = 955 + 609 + 522 = 2086 Н × м.

Крутні моменти на ділянках валу знаходимо за методом перерізів:

МІ = М 1 = 2086 Н × м;

МІІ = М 1 - М 2 = 2086 - 955 = 1131 Н × м;

М ІІІ = М 1 - М 2 - М 3 = 2086 - 955 - 609 = 522 Н × м.

За даними розрахунку будуємо епюру крутних моментів (рис. 14).

Рис. 14. Епюра крутних моментів

1. Визначення діаметру суцільного валу.

Необхідний полярний момент опору з розрахунку на міцність

W ³ M max =

= 8,34 ×10-5 м 3 = 8,34 ×104 мм 3.

Times;106

Знаходимо діаметр суцільного валу круглого перерізу

dміц = =

= 75,2 мм.

Необхідний полярний момент інерції перерізу валу з розрахунку на жо- рсткість ([ц0] = 0,5 град/м = 0,5∙3,14/180 = 8,7∙10-3 рад/м):

J = M max =

= × -6 м 4 = ×

6 мм 4

8 ×1010 × 8,7 ×10-3

3 10

3 10.

Діаметр валу круглого перерізу з вимог жорсткості

dжор = =

= 74,4 мм.

Необхідний розмір перерізу з розрахунку на жорсткість вийшов більше, ніж з розрахунку на міцність, тому його і приймаємо як остаточний

dжор = 74,4 мм.

Отриманий розмір остаточно округлюємо до найближчого стандартного

d = 75 мм.

Знаходимо полярний момент інерції площі поперечного перерізу вибра- ного вала:

Times; 754

=

= 3,1×106 мм 4 = 3,1×10-6 м 4.

r 32 32

Знаходимо кути закручування по довжині вала:

GJ r

Times; 0,5

4 ×1010 × 3,1×10-6

= 8,41×10-3 рад;

jІІ

= МІІ a =

GJ r

Times; 0,5

4 ×1010 × 3,1×10-6

= 4,56×10-3 рад;

jІІІ

= М ІІІa =

GJ r

Times; 0,5

4 ×1010 × 3,1×10-6

= 2,10×10-3 рад.

За результатами розрахунків будуємо епюру кутів закручування (рис.15).

Рис. 15. Епюра кутів закручування

Зовнішній діаметр кільцевого перерізу також необхідно розрахо- вувати з умови міцності і умови жорсткості.

Діаметр кільцевого перерізу з умови міцності знаходять по формулі:

dміц = =

= 82,4 мм.

Зовнішній діаметр валу кільцевого перерізу з умови жорсткості

dжор = =

= 79,6 мм.

Необхідний розмір перерізу з розрахунку на міцність вийшов більше, ніж з розрахунку на жорсткість, тому його і приймаємо за остаточний

d міц = 82,4 мм.

Отриманий розмір остаточно округлюємо до найближчого стандартного

d = 85 мм.

Більш раціональнішим було б розташування шківів, за якого шків з мак- симальним моментом М1 знаходився між шківами М2 і М3 або між шкі- вами М3 або М4.

Контрольне завдання №5

Для сталевого трансмісійного валу (рис. 16) потрібно:

1. Визначити величини моментів, що підводяться до шківа 1 і зніма- ються із шківів 2, 3 і 4.

2. Визначити необхідний діаметр валу з розрахунку на міцність і жорсткість. Діаметр валу вважати постійним по всій довжині.

Отримане значення діаметру валу округлювати до найближчого стандартного значення. Відстань між шківами рівна а, таблиця №4.

3. Побудувати епюру крутних моментів і кутів закручування.

4. Визначити також з умови міцності і жорсткості зовнішній діаметр трубчастого валу із співвідношенням діаметрів с = 0,4. Обчислити економію матеріалу в порівнянні з суцільним у відсотках.

Рис. 16. Схеми валів

Таблиця 5

Контрольні питання

1. Яке напруження виникає при чистому крученні?

2. Як визначається зовнішній закручуючий момент по заданій по- тужності і кутовій швидкості обертання?

3. Що називається повним і відносним кутами закручування?

4. Чому при крученні вал кільцевого перерізу є більш економіч- ним, ніж вал суцільного перерізу?

5. Запишіть вираз для полярного моменту інерції і полярного мо- менту опору круга і кільця.

6. Як проводиться розрахунок валу на міцність і жорсткість?

6. Згин балки. Підбір і перевірка перерізу балок

Теоретичні відомості

Згин – це такий вид деформації бруса, при якому в його попереч- них перерізах виникають згинальні моменти. В більшості випадків од- ночасно із згинальними моментами виникають і поперечні сили; такий згин називають поперечним; якщо поперечні сили не виникають, згин називають чистим.

У випадку коли всі навантаження, а отже, і реакції зв'язків діють в одній площині, згин називають плоским.

При прямому поперечному згині в поперечних перерізах балки виникають два внутрішні силові чинники: поперечна сила Qy і згиналь- ний момент Mx. Залежності між цими внутрішніми силовими чинниками і напругою в поперечному перерізі мають вигляд:

QУ = ò t ZУ dF; M X

F

= ò s ZуdF. (6.1)

F

Для більш наочного уявлення про характер зміни внутрішніх си- лових чинників (Qy і Mx) по довжині бруса і для знаходження найбільш небезпечних перерізів будують відповідні графіки – епюри поперечних сил і згинальних моментів.

Поперечна сила Qy в довільному поперечному перерізі бруса чи- сельно дорівнює алгебраїчній сумі зовнішніх сил, що прикладені до від- січеної частини.

Згинальний момент Mx в довільному поперечному перерізі бруса чисельно дорівнює алгебраїчній сумі моментів всіх зовнішніх сил, що прикладені до відсіченої частини, відносно тієї точки подовжньої осі бруса, через яку проходить даний переріз.

Нейтральною лінією називається пряма, по якій перетинається кожен поперечний переріз з нейтральним шаром.

Нейтральним шаром називається сукупність волокон, які не мі- няють своєї довжини при згині балки.

Напруження при згині на відстані у від нейтральної лінії

s = (М X / J X) у, (6.2)

Максимальне напруження при згині має місце в крайніх волокнах перерізу, тобто в точках, що найбільш віддалені від нейтральної лінії.

Його величина має бути менша за напруження, що допускається [у] (умова міцності при згині):

s max =

Mx max

Jx

у max£ [ s ]. (6.3)

Якщо до балки прикладене значне поперечне навантаження або балка має тонкостінний переріз, то необхідно проводити повний розра- хунок на міцність, враховуючи вплив дотичного напруження. В такому випадку друга умова міцності запишеться у вигляді:

t max

= Q max × Sвід

b × J

£ [ t ], (6.4)

де Qmax – поперечна сила в даному перерізі; Sвід - статичний момент пло- щі відкинутої частини перерізу відносно нейтральної осі (дорівнює ну- лю в крайніх волокнах); b - ширина шару, де визначається дотична на- пруга; J – момент інерції площі перерізу.

Як видно з формули, дотичне напруження в крайніх волокнах до- рівнює нулю, а зона максимальних дотичних напружень розташована в середній частині перерізу.

Момент опору при згині Wx- геометрична характеристика попе- речного перерізу, що є відношенням моменту інерції відносно даної осі до половини висоти перерізу. Нижче приведені моменти опорів простих перерізів:

а) круг

» 0,1 d 3;

б) кільце

X 32

C

d / 2

) = (pd 3 / 32)(1 - c 4)» 0,1 d 3 (1 - c 4).

в) прямокутник

W

J bh 3

/12

bh 2

.

h / 2

=

h / 2 6

Рекомендації до розв’язання задачі №6

1.При побудові епюр поперечних сил і згинальних моментів необ- хідно керуватися правилом знаків: поперечні сили вважаються додатними, якщо вони прагнуть обернути елемент за годиннико- вою стрілкою; момент вважається додатним, якщо елемент бруса згинається опуклістю вниз (верхні волокна стиснуті).

2.Балки розраховують на міцність по найбільшим нормальним на- пруженням, що виникають в поперечних перерізах. При попереч-

ному згині в перерізах балок разом з нормальними напруженнями виникають і дотичні, але вони в переважній більшості випадків невеликі і при розрахунках на міцність не враховуються.

3.Порядок перевірочного розрахунку балок на міцність:

- знайти небезпечний переріз за максимальним моментом;

- визначити момент опору W перерізу відносно нейтральної лінії, засто- совуючи основну умову міцності;

- підбирати по сортаменту (табл. 3, 4 Додатку) номер профілю перерізу.

Приклад розв’язання задачі №6

Для балки, схема навантаження якої показана на рис. 17, потрібно:

1) побудувати епюри поперечних сил Qy і згинальних моментів Mx для двохопорної балки;

2) підібрати переріз двотаврової стальної балки.

Рис. 17. Схема навантаження балки

Дана система є статично визначною, оскільки дві невідомі опорні реакції можна знайти з двох незалежних рівнянь статики. Визначаємо опорні реакції:

1.å MA = 0.

q × 4 a × 2 a + F 1 × 4 a + М - RB × 5 a + F 2 × 6 a = 0;

5 RB = 8 qa + M + 4 F 1 + 6 F 2 = 8 ×1× 2 + 20 + 4 ×10 +

+ 6 × 5 = 106;

2. å Fу = 0.

R = 106 = 21,2(кН).

B 5

RA + RB - q × 4 a - F 1 - F 2 = 0 Þ RA = 4 qa + F 1 + F 2 - RB;

RA = 4 ×1× 2 + 10 + 5 - 21,2 =1,8(кН).

Знаходимо поперечні сили на ділянках балки методом перерізів. У перерізі на лівій опорі поперечна сила дорівнює відповідній опорній

реакції:

QA = RA =1,8(кН).

На ділянці I поперечна сила змінюється по лінійному закону. Для побудови епюри на цій ділянці треба знайти значення сили в перерізі, узятому нескінченно близько зліва від точки С:

QС злів

= RA - 4 qa = 1,8 - 4 ×1× 2 = -6,2 (кН).

В точці С епюра поперечних сил має скачок. Знаходимо значення сили в перерізі, узятому нескінченно близько справа від точки С:

QС прав = QС злів - F 1 = -6,2 - 10 = -16,2 (кН).

До точки В поперечна сила в перерізі балки має незмінне значення

QВ злів = QС прав = -16,2 (кН),

а в самій точці В епюра сил знову отримує стрибок

QВ прав = QВ злів + RB = -16,2 + 21,2 = 5(кН).

До точки D поперечна сила в перерізі балки має незмінне значення, аж доки в цій точці не отримує зміну від зосередженої сили:

QD = QBправ - F 2 = 5 - 5 = 0(кН).

За даними розрахунків будуємо епюру поперечних сил.

Рис. 18. Епюра поперечних сил

Знаходимо згинальні моменти на ділянках балки методом перері- зів. У перерізі на лівій опорі згинальний момент дорівнює нулю:

М A = 0(кН × м).

На ділянці І згинальний момент змінюється по квадратичному за- кону, при цьому в перерізі, де епюра сил проходить через нуль, епюра моментів (парабола) має максимум. Визначимо величину Мтах, для чого знайдемо абсцису х перерізу, в якому Qy = 0:

R - qx = 0 Þ x = RAA q

М).

1

Тепер безпосередньо знаходимо максимальний момент

M max= RAх - qх × х / 2 = 1,8 ×1,8 - 1×1,8 ×1,8 / 2 = 1,62 (кН × м).

Визначаємо згинальний момент в перерізі С:

MC = RA × 4 a - q × 4 a × 2 a = 1,8 × 4 × 2 - 1× 8 × 4;

МС = -17,6(кН × м).

По трьох знайдених значеннях на ділянці І вже можна побудувати пара- болу.

На ділянці ІІ епюра моментів буде змінюватися за лінійним зако- ном. Для побудови епюри на цій ділянці треба знайти значення моменту в перерізі, узятому нескінченно близько зліва від точки В:

MВ злів = RA × 5 a - q × 4 a × 3 a - F 1 × a = 1,8 × 5× 2 -1× 8 × 4-;

-10 × 2 = -34(кН × м).

В самій точці В епюра моментів отримує стрибок, тому

МВ прав = МВ злів + М = -34 + 20 = -14(кН).

На ділянці ІІІ епюра змінюється за лінійним законом до нульового зна- чення на правому краю балки:

МD = 0.

За результатами розрахунків будуємо епюру згинальних моментів.

Рис. 19. Епюра згинальних моментів

Максимальний згинальний момент з епюри Мтах = 34 кН∙м.

Необхідний момент опору поперечного перерізу двотаврової балки ви- значається з формули

Mx max

34 ×103

-3 3 3

Wx ³

[ s ]

= = 0,21 ×10 ì

160 ×106

= 212,5 ñì.

З табл. 3 Додатку вибираємо двотавр № 20а, що має Wx = 203 cм3.

Контрольне завдання №6

Для наданих схем навантаження балок необхідно:

- побудувати епюри поперечних сил Qу і згинальних моментів Mх;

- підібрати необхідний переріз з умови міцності:

а) сталева балка двотаврового поперечного перерізу з допусти- мим напруженням [у] = 160МПа;

б) сталева конструкція, що складається з двох швелерів з допус- тимим напруженням [у] = 180 МПа;

в) дерев'яна балка прямокутного поперечного перерізу із співвід- ношенням сторін h:b і межею міцності на згин [узг] = 80 МПа;

г) чавунна балка трубчастого поперечного перерізу із співвідно-

шенням внутрішнього і зовнішнього діаметрів с і допустимим напру- женням [у+] = 120 МПа, [у-] = 500 МПа.

Таблиця 6

№ варі- анту	Розміри балки, м	Величини силових чинників	Відно- шення сторін, h:b	Відно- шення діамет- рів, c
A	b	c	M, кH×м	P, кH	q, кH/м
	2,8	2,2	1,2				2,0	0,85

 

 

Варіант 1

Варіант 2

 

Варіант 3

 

Варіант 4

 

Варіант 5

Варіант 6

Варіант 7

Варіант 8

 

 

Варіант 9

Варіант 10

 

 

В

Варіант 11

 

 

Варіант 12

 

Варіант 13

 

Варіант 14

 

Варіант 15

 

Варіант 16

 

Варіант 17

 

Варіант 18

 

Варіант 19

 

Варіант 20

 

Варіант 21

 

Варіант 22

 

Варіант 23

Варіант 24

 

Варіант 25

Варіант 26

Варіант 27

 

Варіант 28

Варіант 29

 

 

Варіант 30

Контрольні питання

 

1. Що називається чистим згином балки?

2. Які внутрішні зусилля виникають в поперечних перерізах балки?

3. Назвіть правила знаків, що прийняті для кожного з внутрішніх зусиль?

4. Що таке нейтральний шар і нейтральна лінія, як вони розташо- вані?

5. Яка існує залежність між згинальним моментом, поперечною силою і інтенсивністю розподіленого навантаження?

6. Який вигляд мають епюри нормального і дотичного напружен- ня в поперечних перерізах прямокутної і двотаврової форми?

7. Запишіть умови міцності за головним напруженням по третій і четвертій теоріях міцності.

 

Додатки

Таблиця 1. Показники гнучкості деяких матеріалів

Матеріал	а, МПа	b, МПа	л0	лгр
Ст.2		0,70
Ст.3		1,14
20, Ст.4		1,15
		1,67
Дюралюміни		1,83
Сосна, ялина	29,3	0,194	-

Таблиця 2. Значення коефіцієнта ц

Гнучкість стержня	Матеріал
Сталь Ст2, Ст3, Ст4	Сталь Ст5	Чавуни СЧ12-28 СЧ15-32	Дерево (сосна, Ялина)
	1,00	1,00	1,00	1,00
	0,99	0,98	0,97	0,99
	0,96	0,95	0,91	0,97
	0,94	0,92	0,81	0,93
	0,92	0,89	0,69	0,87
	0,89	0,86	0,57	0,80
	0,86	0,82	0,44	0,71
	0,81	0,76	0,34	0,61
	0,75	0,70	0,26	0,49
	0,69	0,62	0,20	0,38
	0,60	0,51	0,16	0,31
	0,52	0,43	-	0,25
	0,45	0,36	-	0,22
	0,40	0,33	-	0,18
	0,36	0,29	-	0,16
	0,32	0,26	-	0,14
	0,29	0,24	-	0,12
	0,26	0,21	-	0,11
	0,23	0,19	-	0,10
	0,21	0,17	-	0,09
	0,19	0,16	-	0,08
	0,17	0,14	-	-
	0,16	0,13	-	-

Таблиця 3. Сортамент прокатної сталі. Балки двотаврові.

h – висота балки;

b – ширина полки;

d – товщина стінки;

t – середня товщина полки.

 

№ профілю	Розміри, мм	Площа п/п А, см2	Моменти інер- ції, см4	Моменти опору, см3
h	b	d	t	Іх	Іу	Wx	Wy
			4,5	7,2	12,0		17,9	39,7	6,49
			4,8	7,3	14,7		27,9	58,4	8,72
			4,9	7,5	17,4		41,9	81,7	11,5
			5,0	7,8	20,2		58,6		14,5
			5,1	8,1	23,4		82,6		18,4
18а			5,1	8,3	25,4				22,8
			5,2	8,4	26,8				23,1
20а			5,2	8,6	28,9				28,2
			5,4	8,7	30,6				28,6
22а			5,4	8,9	32,8				34,3
			5,6	9,5	34,8				34,5
24а			5,6	9,8	37,5				41,6
			6,0	9,8	40,2				41,5
27а			6,0	10,2	43,2				50,0
			6,5	10,2	46,5				49,9
30а			6,5	10,7	49,9				60,1
			7,0	11,2	53,8				59,9
			7,5	12,3	61,9				71,1
			8,3	13,0	72,6				86,1
				14,2	84,7
				15,2
				16,5
				17,8

Таблиця 4. Сортамент прокатної сталі. Кутки рівнобічні.

b – ширина полки;

d – товщина стінки.

 

 

№ профілю	Моменти інерції, см4	Площа п/п А, см2	Розміри, мм	Радіуси інерції, см
Іх	Іх0(тах)	Іу0(тйп)	Іх1	b	d	йx0	йу0
	7,11	11,3	2,95	12,4	2,96			1,95	1,00
9,21	14,6	3,80	16,6	3,89		1,94	0,99
11,2	17,8	4,63	20,9	4,80		1,92	0,98
5,6	13,1	20,8	5,41	23,3	4,38			2,18	1,11
16,0	25,4	6,59	29,2	5,41		2,16	1,10
6,3	18,9	29,9	7,81	33,1	4,96			2,45	1,25
23,1	36,6	9,52	41,5	6,13		2,44	1,25
27,1	42,9	11,2		7,28		2,43	1,24
	29,0	46,0	12,0		6,20		4,5	2,72	1,39
31,9	50,7	13,2	56,7	6,86		2,72	1,39
37,6	59,6	15,5	68,4	8,15		2,71	1,38
43,0	68,2	17,8	80,1	9,42		2,69	1,37
48,2	76,4	20,0	91,9	10,7		2,68	1,37
7,5	39,5	62,6	16,4	69,9	7,39			2,91	1,49
46,6	73,9	19,3	83,9	8,78		2,90	1,48
53,3	84,6	22,1	98,3	10,1		2,89	1,48
59,8	94,6	24,8		11,5		2,87	1,47
66,1		27,5		12,8		2,86	1,46
	52,7	83,6	21,8	93,2	8,63		5,5	3,11	1,59
57,0	90,4	23,5		9,38		3,11	1,58
65,3		27,0		10,8		3,09	1,58
73,4		30,3		12,3		3,08	1,57

 

Таблиця 5. Сортамент прокатної сталі. Швелери.

h – висота швелера; b – ширина полки; d – товщина стінки;

t – середня товщина полки.

 

№ профілю	Розміри, мм	Площа п/п А, см2	Моменти інер- ції, см4	Моменти опору, см3
h	B	d	t	Іх	Іу	Wx	Wy
			4,0	7,0	6,16	22,8	5,61	9,1	2,75
6,5			4,0	7,2	7,51	48,6	8,7	15,0	3,68
			4,5	7,4	8,98	89,4	12,8	2,4	4,75
			4,5	7,6	10,9		20,4	34,8	6,46
			4,8	7,8	13,3		31,2	50,6	8,52
			4,9	8,1	15,6		45,4	70,2	11,0
14а			4,9	8,7	17,0		57,5	77,8	13,3
			5,0	8,4	18,1		63,6	93,4	13,8
16а			5,0	9,0	19,5		78,8		16,4
			5,1	8,7	20,7				17,0
18а			5,1	9,3	22,2				20,0
			5,2	9,0	23,4				20,5
20а			5,2	9,7	25,2				24,2
			5,4	9,5	26,7				25,1
22а			5,4	10,2	28,8				30,0
			5,6	10,0	30,6				31,6
24а			5,6	10,7	32,9				37,2
			6,0	10,5	35,2				37,3
			6,5	11,0	40,5				43,6
			7,0	11,7	46,5				51,8
			7,5	12,6	53,4				61,7
			8,0	13,5	61,5				73,4

 

СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ