Критерии принятия решений

Основные понятия системного анализа

Системный анализ - наука, занимающаяся проблемой принятия решения в условиях анализа большого количества информации различной природы.

Из определения следует, что целью применения системного анализа к конкретной проблеме является повышение степени обоснованности принимаемого решения, расширение множества вариантов, среди которых производится выбор, с одновременным указанием способов отбрасывания заведомо уступающим другим.

В системном анализе выделяют

• методологию;
• аппаратную реализацию;
• практические приложения.

Методология включает определения используемых понятий и принципы системного подхода.

Дадим основные определения системного анализа.

Связь - важный для целей рассмотрения обмен между элементами веществом, энергией, информацией.

Элемент - некоторый объект (материальный, энергетический, информационный), который обладает рядом важных для нас свойств, но внутреннее строение (содержание) которого безотносительно к цели рассмотрения.

Система - совокупность элементов, которая обладает следующими признаками:

• связями, которые позволяют посредством переходов по ним от элемента к элементу соединить два любых элемента совокупности;
• свойством, отличным от свойств отдельных элементов совокупности.

Практически любой объект с определенной точки зрения может быть рассмотрен как система. Вопрос состоит в том, насколько целесообразна такая точка зрения.

Большая система - система, которая включает значительное число однотипных элементов и однотипных связей. В качестве примера можно привести трубопровод. Элементами последнего будут участки между швами или опорами. Для расчетов на прочность по методу конечных элементов элементами системы считаются небольшие участки трубы, а связь имеет силовой (энергетический) характер - каждый элемент действует на соседние.

Сложная система - система, которая состоит из элементов разных типов и обладает разнородными связями между ними.

Автоматизированная система - сложная система с определяющей ролью элементов двух типов:

• в виде технических средств;
• в виде действия человека.

Для сложной системы автоматизированный режим считается более предпочтительным, чем автоматический. Например, посадка самолета выполняется при участии человека, а автопилот или бортовой компьютер используется лишь на относительно простых операциях. Типична также ситуация, когда решение, выработанное техническими средствами, утверждается к исполнению человеком.

Структура системы - расчленение системы на группы элементов с указанием связей между ними, неизменное на все время рассмотрения и дающее представление о системе в целом. Указанное расчленение может иметь материальную, функциональную, алгоритмическую или другую основу. Пример материальной структуры - структурная схема сборного моста, которая состоит из отдельных, собираемых на месте секций и указывает только эти секции и порядок их соединения. Пример функциональной структуры - деление двигателя внутреннего сгорания на системы питания, смазки, охлаждения, передачи крутящего момента. Пример алгоритмической структуры - алгоритм программного средства, указывающего последовательность действий или инструкция, которая определяет действия при отыскании неисправности технического устройства.

Структура системы может быть охарактеризована по имеющимся в ней типам связей. Простейшими из них являются последовательное, параллельное соединение и обратная связь (рис.1.1).

Декомпозиция - деление системы на части, удобное для каких-либо операций с этой системой. Примерами будут: разделение объекта на отдельно проектируемые части, зоны обслуживания; рассмотрение физического явления или математическое описание отдельно для данной части системы.

Иерархия - структура с наличием подчиненности, т.е. неравноправных связей между элементами, когда воздействие в одном из направлений оказывают гораздо большее влияние на элемент, чем в другом. Виды иерархических структур разнообразны, но важных для практики иерархических структур всего две - древовидная и ромбовидная (рис.1.2).

Древовидная структура наиболее проста для анализа и реализации. Кроме того, в ней всегда удобно выделять иерархические уровни - группы элементов, находящиеся на одинаковом удалении от верхнего элемента. Пример древовидной структуры - задача проектирования технического объекта от его основных характеристик (верхний уровень) через проектирование основных частей, функциональных систем, групп агрегатов, механизмов до уровня отдельных деталей.

Принципы системного подхода - это положения общего характера, являющиеся обобщением опыта работы человека со сложными системами. Их часто считают ядром методологии. Известно около двух десятков таких принципов, ряд из которых целесообразно рассмотреть:

• принцип конечной цели: абсолютный приоритет конечной цели;
• принцип единства: совместное рассмотрение системы как целого и как совокупности элементов;
• принцип связности: рассмотрение любой части совместно с ее связями с окружением;
• принцип модульного построения: полезно выделение модулей в системе и рассмотрение ее как совокупности модулей;
• принцип иерархии: полезно введение иерархии элементов и(или) их ранжирование;
• принцип функциональности: совместное рассмотрение структуры и функции с приоритетом функции над структурой;
• принцип развития: учет изменяемости системы, ее способности к развитию, расширению, замене частей, накапливанию информации;
• принцип децентрализации: сочетание в принимаемых решениях и управлении централизации и децентрализации;
• принцип неопределенности: учет неопределенностей и случайностей в системе.
• Критерий Байеса-Лапласа предъявляет к ситуации, в которой принимается решение, следующие требования:
• вероятность появления состояния V_jизвестна и не зависит от времени;
• принятое решение теоретически допускает бесконечно большое
• количество реализаций;
• допускается некоторый риск при малых числах реализаций.

В соответствии с критерием Сэвиджа в качестве оптимальной выбирается такая стратегия, при которой величина риска принимает наименьшее значение в самой неблагополучной ситуации:

Здесь величину W можно трактовать как максимальный дополнительный выигрыш, который достигается, если в состоянии V_jвместо варианта U_iвыбрать другой, оптимальный для этого внешнего состояния, вариант.

Соответствующее критерию Сэвиджа правило выбора следующее: каждый элемент матрицы решений [W_ij] вычитается из наибольшего результата max W_ijсоответствующего столбца. Разности образуют матрицу остатков. Эта матрица пополняется столбцом наибольших разностей W_ir. Выбирается тот вариант, в строке которого стоит наименьшее значение.

Согласно критерию Гурвица выбирается такая стратегия, которая занимает некоторое промежуточное положение между крайним пессимизмом и оптимизмом:

где

r - коэффициент пессимизма, выбираемый в интервале [0,1].

Правило выбора согласно этому критерию следующее: матрица решений [W_ij] дополняется столбцом, содержащим средние взвешенные наименьшего и наибольшего результатов для каждой строки (2.6). Выбирается тот вариант, в строках которого стоят наибольшие элементы W_irэтого столбца.

При r =1 критерий Гурвица превращается в критерий Вальда (пессимиста), а при r =0 - в критерий азартного игрока. Отсюда ясно, какое значение имеет весовой множитель r. В технических приложениях правильно выбрать этот множитель бывает так же трудно, как правильно выбрать критерий. Поэтому чаще всего весовой множитель r =0.5 принимается в качестве средней точки зрения.

Критерий Гурвица предъявляет к ситуации, в которой принимается решение, следующие требования:

• о вероятности появления состояния V_j ничего не известно;
• с появлением состояния V_jнеобходимо считаться;
• реализуется лишь малое количество решений;

Критерии принятия решений

Критерий принятия решений - это функция, выражающая предпочтения лица, принимающего решения (ЛПР), и определяющая правило, по которому выбирается приемлемый или оптимальный вариант решения.

Всякое решений в условиях неполной информации принимается в с учетом количественных характеристик ситуаций, в которой принимаются решения. Наиболее часто принимаются следующие критерии принятия Севиджа, критерий Гурвица, критерий Ходжа-Лимона, критерий Гермейера, соответствии с решений: минимаксный критерий, критерий Байеса-Лапласа, критерий какой-либо оценочной информацией, выбор которой должен осуществляться критерий произведений, составной критерий Байеса-Лапласа минимаксный.

Эти критерии можно использовать поочередно, причем после вычисления их значений среди нескольких вариантов приходится произвольным образом выделять некоторое окончательное решение. Что позволяет, во-первых, лучше проникнуть во все внутренние связи проблемы принятия решений и, во-вторых, ослабить влияние субъективного фактора.

Классические критерии принятия решений.

1.1. Минимаксный критерий (ММ) использует оценочную функцию Z_ММ, соответствующую позицию крайней осторожности.

Z_ММ=max eir и eir=min eij.

где z_mm — оценочная функция ММ-критерия.

Поскольку в области технических задач построение множества Е вариантовуже само по себе требует весьма значительных усилий, причем иногда возникает необходимость в их рассмотрении с различных точек зрения. Оно должно напоминать о том, что совокупность вариантов необходимо исследовать возможно более полным образом, чтобы была обеспечена оптимальность выбираемого варианта.

Правило выбора решения в соответствии с этим критерием можно интерпретировать следующим образом:

Матрица решений дополняется еще одним столбцом из наименьших результатов e_irкаждой строки. Выбрать надлежит те варианты E_io, в строках которых стоят наибольшие значения eirэтого столбца.

Выбранные таким образом варианты полностью исключают риск. Это означает, что принимающий решение не может столкнуться с худшим результатом,чем тот, на который он ориентируется. Какие бы условияFjни встретились, соответствующий результат не может оказаться нижеZ_мм. Это свойство заставляет считать минимаксный критерий одним из фундаментальных. Поэтому в технических задачах он применяется чаще всего, как сознательно, так и неосознанно. Однако положение об отсутствии риска стоит различных потерь.

Критерий Сэвиджа.

С помощью обозначения

аij=max eij – eij – это eir=maxaij = max(max eij-eij),

формируется оценочная функция

Zs=min eir = min [max (maxe_ij – e_ij)]

Соответствующее правило выбора теперь интерпретируется так:

Каждый элемент матрицы решений вычитается из наибольшего результата соответствующего столбца. Эти разности образуют матрицу остатков. Эта матрица пополняется столбцом наибольших разностей e_ir. Выбираются те решения Е_io, в строках которых стоит наименьшее значение для этого столбца

и строится множество оптимальных вариантов решения

Для понимания этого критерия определяемую соотношением величину aij = max e_ij- e_ijможно трактовать как максимальный дополнительный выигрыш, который достигается, если в состоянииF_j вместо вариантаE_iвыбрать другой, оптимальный для этого внешнего состояния вариант. Мы можем, однако, интерпретировать a_ijи как потери (штрафы), возникающие в состоянииF_iпри замене оптимального для него варианта на вариант E_i. Тогда определяемая соотношением величина e_ir представляет собой — при интерпретации а_ij в качестве потерь—максимальные возможные (по всем внешним состояниямF_j, j==1,..., n) потери в случае выбора вариантаE_i. Эти максимально возможные потери минимизируются за счет выбора подходящего варианта E_i.

Соответствующее S-критерию правило выбора теперь интерпретируется так:

каждый элемент матрицы решений ||e_ij|| вычитается из наибольшего результатаmaxe_ij соответствующего столбца.

Разности a_ijобразуют матрицу остатков ||a_ij|| Эта матрица пополняется столбцом наибольших разностейe_ir. Выбираются те вариантыE_io, в строках которых стоит наименьшее для этого столбца значение.

По выражению оценивается значение результатов тех состояний, которые, вследствие выбора соответствующего распределения вероятностей, оказывают одинаковое влияние на решение, с точки зрения результатов матрицы ||e_ij|| S-критерий связан с риском, однако, с позиций матрицы ||a_ij|| он от риска свободен.

1.3. Критерий Байеса-Лапласа .