Фигуры, получающиеся в случае разреза ленты

Введение

Топология - сравнительно молодая математическая наука. Примерно за сто лет ее существования в ней достигнуты результаты, важные для многих разделов математики. Поэтому проникновение в «мир топологии» для начинающего несколько затруднительно, так как требует знания многих фактов геометрии, алгебры, анализа и других разделов математики, а также умения рассуждать.

Актуальность темы:

Топология оказывает влияние на многие разделы математики. Она изучает, в частности, такие свойства произвольных геометрических образов, которые сохраняются при преобразованиях, происходящих без разрывов и склеивания, или, как говорят математики, - при взаимно однозначных и взаимно непрерывных преобразованиях, называющихся топологическими.

Цель работы:

· Рассказать о топологии, как о науке

Топология как наука

Одним из самых неожиданных явлений в развитии математики XX в. стал головокружительный взлёт науки, известной под названием топология.

Тополо́гия (от греч. τόπος — место) — часть геометрии, изучающая в самом общем виде явление непрерывности, а также свойства обобщенных геометрических объектов, не меняющиеся при малых деформациях и не зависящие от способа их задания.

Желая пояснить, что такое топология, иногда говорят, что это «геометрия на резиновой поверхности».

Можно сказать, что топология занимается изучением тех свойств фигур, которые сохраняются независимо от того, как деформируется фигура.

Для более точного объяснения отличия топологии от прочих разделов математики, изучающих свойства объектов, представим себе бублик из податливой, но необычайно прочной резины, который мы можем, как угодно крутить, сжимать и растягивать в любом направлении. Независимо от того, как деформируется бублик, некоторые его свойства остаются неизменными. Например, в нем всегда есть дыра. В топологии её принято называть тором. Соломинка, через которую мы пьём коктейль, тоже тор, только вытянутый. С точки зрения топологии бублик и соломинка ничем не отличаются. С точки зрения топологии баранка и кружка - это одно и то же. Сжимая и растягивая кусок резины, можно перейти от одного из этих тел ко второму. А вот баранка и шар - разные объекты: чтобы сделать отверстие, надо разорвать резину. Два геометрических образа в топологии рассматриваются как «одинаковые», если один из них можно перевести в другой топологическим преобразованием. Например, круг и квадрат на плоскости можно преобразовать друг в друга топологическим преобразованием – это топологически эквивалентные фигуры. В то же время круг и кольцевая область, получаемая из круга «выбрасыванием» концентричного круга меньшего радиуса, с точки зрения топологии – различны.

В топологии фигуры не имеют измерений. Топологию не интересуют свойства фигур, связанные с длинной, площадью, объёмом и тому подобными количественными характеристиками. Она занимается изучением наиболее глубоких свойств фигур и тел, которые остаются неизменными при самых больших деформациях, но без разрывов и склеиваний. Если бы тела и фигуры разрешалось разрезать и склеивать, то любое тело, сколь угодно сложной структуры, можно было превратить в любое другое тело с какой угодно структурой, и все первоначальные свойства были бы безвозвратно утрачены.

Топология изучает те свойства геометрических объектов, которые сохраняются при непрерывных преобразованиях. Непрерывные преобразования характеризуются тем, что точки, расположенные «близко одна к другой» до преобразования, остаются такими и после того, как преобразование закончено. При топологических преобразованиях разрешается растягивать и сгибать, но не разрешается рвать и ломать.

Образцом топологического свойства объекта служит наличие дырки у бублика. Какую бы непрерывную деформацию ни перетерпел бублик, дырка остаётся. Другое топологическое свойство – наличие края. Поверхность сферы не имеет края, а пустая сфера имеет, и никакое непрерывное преобразование не в состоянии это изменить.

Существует очень много различных непрерывных преобразований, поэтому топологам что бублик, что какая-нибудь другая штука с одной дыркой – всё едино. У тополога меньше объектов изучения, и в этом смысле предмет изучения в топологии проще, чем в большинстве других разделов изучения математики. В этом одна из причин того, что топология превратилась в мощный инструмент математики в целом: её простота и общность обеспечили ей широкий круг применений.

К топологическим относятся и задачи на вычерчивание фигур одним росчерком. В подобных задачах требуется начертить какую-либо фигуру, не отрывая карандаша от бумаги не проводя два раза по одной и той же линии.

К основным разделам топологии относятся:

· Общая топология или теоретико-множественная топология — раздел топологии, изучающий непрерывности в чистом виде, занимающийся исследованием фундаментальных вопросов топологии, к примеру связность и компактность.

· Алгебраическая топология — раздел, изучающий непрерывности алгебраических объектов типа гомотопических групп и гомологии.

· Дифференциальная топология — раздел топологии, в котором изучаются гладкие многообразия с точностью до диффеоморфизма, а также из включения в другие многообразия. Дифференциальная топология имеет два подраздела: маломерная топология и теория узлов.

Одна из основных задач общей топологии - анализ математической концепции непрерывности в ее наиболее общей форме. Для этого было введено понятие топологического пространства. В топологии разработана весьма изощренная алгебраическая и аналитическая техника, значение которой выходит далеко за пределы первоначальной сферы ее применения. Сюда входит, в частности, так называемая гомологическая алгебра, которая является рабочим инструментом также и в теории уравнений с частными производными, в теории функций многих комплексных переменных и т.д. Один из разделов общей топологии - теория размерности.

Что значит, что некоторое пространство двумерно, трехмерно или, вообще, n-мерно? Размерность есть одна из фундаментальных характеристик топологического пространства. Определение ее в общем случае оказывается весьма непростым. В. Кузьминовым был построен ряд примеров, показывающих парадоксальность поведения размерности в определенных ситуациях. И. Шведовым изучалась задача об аксиоматическом определении размерностей, и он опроверг, в частности, некоторые известные гипотезы, связанные с этой задачей.

Другой раздел топологии носит название теории Ходжа. Эта теория объединяет в себе представления, относящиеся к теории уравнений в частных производных, римановой геометрии и топологии. В. Кузьминовым, И. Шведовым и В. Гольдштейном в серии работ было построено некоторое обобщение теории Ходжа, применимое к изучению многообразий с особенностями и многообразий, удовлетворяющих пониженным (в сравнении с обычной теорией Ходжа) требованиям гладкости. Отличие этой обобщенной теории Ходжа, - с точки зрения дифференциальных уравнений, - в том, что эта теория существенно нелинейно.

Лента Мёбиуса

Лента Мёбиуса - топологический объект, простейшая не ориентируемая поверхность с краем, односторонняя при вложении в обычное трёхмерное евклидово пространство. Попасть из одной точки этой поверхности в любую другую можно, не пересекая края.

Свойства ленты Мёбиуса:

• Односторонность. Если взять ленту Мебиуса и начать закрашивать в любом ее месте и направлении, то постепенно вся фигура будет закрашена целиком, при этом фигуру не нужно будет переворачивать.
• Непрерывность. Каждую точку этой фигуры можно соединить с другой ее точкой, при этом ни разу не выходя за края ленты.
• Двусвязность (или двумерность). Лента остается цельной, если резать ее вдоль. Из нее не получатся в этом случае две разные фигуры.
• Отсутствие ориентированности. Если представить, что человек мог бы идти по этой фигуре, то при возвращении в точку начала путешествия, он бы превращался в свое отражение. Путешествие по листу бесконечности могло бы продолжаться вечно.

Фигуры, получающиеся в случае разреза ленты

· Если разрезать ленту вдоль по линии, равноудалённой от краёв, вместо двух лент Мёбиуса получится одна длинная двухсторонняя (вдвое больше закрученная, чем лента Мёбиуса) лента, которую называют «афганской лентой».

· Если теперь «афганскую ленту» разрезать вдоль посередине, получаются две ленты, намотанные друг на друга.

· Если разрезать ленту Мёбиуса, отступая от края приблизительно на треть её ширины, то получаются две ленты, одна — более короткая лента Мёбиуса, другая — длинная лента с двумя полуоборотами («афганская лента»).

· Другие комбинации лент могут быть получены из лент с двумя или более полуоборотами в них. Например, если разрезать ленту с тремя полуоборотами, то получится лента, завитая в узел трилистника.

Разрез ленты с дополнительными оборотами даёт неожиданные фигуры, названные парадромными кольцами.