Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Точки, которые разделяют промежутки выпуклости и вогнутости называются точками перегиба функции ⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 2 Схема исследования функции на выпуклость, вогнутость: 1. Находим вторую производную функции (это производная от первой производной). 2. Находим точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует. 3. Исследуем знаки второй производной справа и слева от найденных точек. Для примера исследуем на выпуклость, вогнутость функцию 1. Найдем первую производную функции : 2. Найдем вторую производную функции . 3. Найдем нули второй производной: - точка перегиба. Найдем знаки второй производной и определим промежутки выпуклости, вогнутости функции: График нашей функции выглядит так: Мы видим, что слева от точки функция выпуклая (если представить, что мы "поливаем" график водой, то она с него скатывается - неспроста на этом промежутке вторая производная отрицательная). Справа от точки функция вогнутая. (На этом промежутке вода как бы накапливается - здесь вторая производная больше нуля) Полное исследование функции: Итак, давайте, для примера, исследуем функцию и построим ее график. 1. Найдем ОДЗ
Сразу отметим, что при знаменатель дроби равен нулю, следовательно, прямые и являются вертикальными асимптотами графика функции . 2. Исследуем функцию на четность. Получили, что , следовательно, функция - нечетная, и график функции симметричен относительно начала координат. 3. Найдем точки пересечения с осями координат. а) Точки пересечения с осью ОХ (y=0) б) Точка пересечения с осью ОY (x=0) График нашей функции проходит через начало координат. 4. Найдем промежутки знакопостоянства. Решим неравенство Воспользуемся методом интервалов. Найдем корни числителя и знаменателя, нанесем их на числовую ось и расставим знаки: Корень числителя: Корни знаменателя: ; Расставим знаки: Итак, при и при и 5. Найдем промежутки возрастания-убывания функции и экстремумы. а) Найдем производную функции
б) Приравняем производную к нулю: (корень четной кратности); ; Корни знаменателя - - также корни четной кратности. В корнях четной кратности производная знак не меняет. в) Нанесем нули производной и корни ее знаменателя на числовую ось, расставим знаки и найдем точки экстремума и промежутки возрастания и убывания. Итак, мы нашли промежутки возрастания и убывания. Найдем значение функции в точках экстремума: Заметим, что, поскольку функция нечетная, и мы нашли, что , мы могли бы сразу написать, что Итак, отметим в нашей координатной плоскости точки минимума и максимума функции и точку пересечения графика функции с осями координат. На рисунке ниже большими красными кружками обозначены точки, через которые проходит график функции.
Теперь учтем промежутки возрастания-убывания и промежутки знакопостоянства функции (п. 4) и построим ее график. Помним, что график функции не пересекает абсциссы, он лишь приближается к ним!
|