Задания для самостоятельной работы. Тема: Статистические распределения, их главные характеристики

Тема: Статистические распределения, их главные характеристики

1. Изучить теоретический материал по темам «Генеральная и выборочная совокупности. Вариационные ряды: дискретные и интервальные. Оценка функции распределения и плотности распределения: эмпирическая функция распределения, гистограмма, полигон, кумулятивная кривая. Точечные оценки параметров распределения. Интервальные оценки параметров распределения, доверительная вероятность. Интервальные оценки числовых характеристик, в случае нормально распределенной генеральной совокупности и выборки большого объема» по вопросам:

1.1. Генеральная и выборочная совокупности

1.2. Статистическое распределение выборки

1.3. Полигон и гистограмма

1.4. Несмещенные, эффективные и состоятельные оценки

1.5. Выборочная средняя

1.6. Выборочная дисперсия

1.7. Доверительные интервалы для оценки математического ожидания нормального распределения при известном s

1.8. Доверительные интервалы для оценки математического ожидания нормального распределения при неизвестном s

2. Выполнить задания:

Задача 1

В ходе эксперимента получены данные наблюдений:

Для данной выборки выполнить следующее:

• Построить эмпирическую функцию распределения;
• Вычислить числовые характеристики выборки (мода, медиана, выборочное среднее, выборочная дисперсия, среднее квадратическое отклонение, начальные и центральные моменты);
• Определить тип распределения (симметричный – асимметричный, плосковершинный – островершинный).

Задача 2

Из генеральной совокупности извлечена выборка.

Найти несмещенные оценки генерального среднего и генеральной дисперсии.

Задача 3

В результате проведенных наблюдений получена выборка, ряд распределения которой имеет вид:

Считая, что генеральная совокупность имеет нормальное распределение, найти доверительные интервалы для ее математического ожидания и среднего квадратического отклонения с надежностью 0,95.

Тема: Проверка статистических гипотез

1. Изучить теоретический материал по темам «Статистическая гипотеза, нулевая и альтернативная гипотезы, статистический критерий, ошибки 1-го и 2-го рода, уровень значимости, мощность критерия, левосторонние, правосторонние и двусторонние критические области» по вопросам:

1.1. Статистическая гипотеза

1.2. Ошибки первого и второго рода

2. Выполнить задания:

Задача 1

Экзаменационный билет по математике содержит 10 заданий.

Пусть - случайная величина числа задач, решенных студентами на экзамене. Результаты сдачи экзамена по математике для 300 студентов следующие:

Оценить закон распределения случайной величины с помощью критерия Пирсона при уровне значимости .

Тема: Первичная обработка результатов наблюдений двух измеримых признаков и их эмпирические распределения.

Цель работы. Изучить основные понятия выборочного метода. Ознакомиться с методикой первичной обработки статистических данных. Оценить распределение генеральной совокупности по сгруппированным данным, т.е. получить эмпирические распределения каждого признака. Программные требования. Генеральная совокупность объектов. Выборка и способы ее организации. Статистический ряд. Вариационные ряды, их элементы. Интервальный вариационный ряд, методика его получения группированием данных. Эмпирические распределения: полигон частот, гистограмма частот, эмпирическая функция распределения.

Вопросы для самопроверки

1. Генеральная и выборочная совокупность. Повторная и бесповторная выборки. Репрезентативная выборка.

2. Определение и свойства интегральной функции распределения случайной величины F(x) плотности распределения вероятностей случайной величины F(x) - законов распределений, описывающих генеральную совокупность.

3. Статистический ряд. Вариационный ряд. Частота, относительная частота.

4. При большом объеме выборки целесообразно производить группирование данных. Выбор числа интервалов группирования r, размах варьирования, шаг варьирования. Образование массива интервалов статистических данных.

5. Получение корреляционного поля - диаграммы рассеяния двумерной совокупности (х, у).

6. Получение корреляционной таблицы - двумерного эмпирического распределения случайных величин.

7. Получение интервальных вариационных рядов эмпирического распределения составляющих х и у. Определение эмпирического закона выборочной совокупности.

8. Распределение частот, относительных частот (частостей). Графическое изображение частот: полигон распределения и гистограмма распределения - графические оценки плотности распределения вероятностей F(x) генеральной совокупности.

9. Эмпирическая функция распределения F*(x). Графики накопленных частостей. Накопленная частота. Кумулятивная линия - оценка интегральной функции распределения F(x) генеральной совокупности.

Замечание. Генеральная совокупность х и у считаем непрерывными случайными величинами.

Тема: Статистическое течение оценки генеральных параметров.

Цель: Оценить генеральные параметры по сгруппированной выборочной совокупности.

Программные требования. Генеральные параметры: характеристики положения и рассеяния. Статистика числовых характеристик одного измеримого признака. Несмещенные, состоятельные, эффективные оценки. Оценки отклонения эмпирического распределения от нормального: асимметрия, эксцесс.

Вопросы для самопроверки

1. Определять свойства числовых характеристик случайной величины М(Х), D(X), σ(X). Их расчетные формулы. Вероятный смысл.

2. Что значит оценить генеральные параметры по выборке? Определение точечной оценки (статистики).

3. Требования, предъявляемые к точечным оценкам генеральных параметров.

_

4. Определение выборочных оценок статистического ряда по сгруппированным данным xb, D_B, σ_B. Их расчетные формулы.

5. Определение выборочных начальных и центральных моментов.

6. Оценка математического ожидания по выборочной средней.

7. Оценка дисперсии по исправленной дисперсии. Число связей. Число степеней свободы.

8. Выборочная асимметрия и эксцесс, их оценки по исправленным асимметрии и эксцессу.

9. Мода и медиана, определяем по сгруппированным данным.

10. Коэффициент вариации V.

Тема: Статистическая проверка статистической гипотезы
о совпадении с нормальным распределением
одного измеримого признака генеральной совокупности

Цель:

1. Ознакомиться с основными задачами статистической проверки гипотез;

2. Ознакомиться с часто используемыми методами проверки гипотезы нормальности распределения.

При решении задачи о согласовании теоретического распределения с нормальным найти интервальные оценки параметров а и σ нормального распределения. Уровень значимости принять равным 0,05.

Программные требования. Статистическая проверка гипотез. Критерии значимости. Критерии согласия. Ошибка первого и второго рода. Основные методы проверки нормальности распределения. Интервальные оценки. Доверительные интервалы для параметров а и о нормального распределения.

Вопросы для самопроверки

1. Почему говорят о статистической проверки статистических гипотез?

2. Нулевая и альтернативная гипотезы.

3. Статистический критерий. Виды критериев: критерий значимости, критерий согласия.

4. Статистика U для проверки гипотез.

5. Уровень значимости. Ошибки первого и второго рода.

6. Критическая область, область принятия, критические точки.

7. Проверка гипотезы нормальности распределения по:

а) среднее абсолютное отклонение (САО);

б) размаху варьирования R (прикидочная проверка);

в) показателям исправленных асимметрии А* и эксцесса Е*;

г) критерию Пирсона (основательная проверка).

8. Схема применения критерия Пирсона.

9. Интервальные оценки. Доверительные интервалы для параметров а и σ нормального распределения.

Рекомендации. Проверка нормальности по САО и по показателям асимметрии и эксцесса (п.4, п.5) удобна при проведении расчетов на ЭВМ. Для практического применения (особенно при расчетах с использованием настольных ЭВМ) рекомендуются в основном две методики: по размаху варьирования (п.З) и по критерию х² (или Пирсона, п.6). Первая служит для быстрой «прикидочной» проверки, а вторая - для основной проверки.

Рассмотрим задачу 1. Требуется проверить, взята ли данная выборка из нормально распределенной генеральной совокупности.

Тема: Регрессионно-корреляционный анализ

Вопросы для самопроверки

1. Виды зависимости между двумя признаками: функциональная, стохастическая, статистическая, корреляционная. Условное среднее Y на X или X на Y. Функции регрессии. Выборочные регрессии.

2. Эмпирическая линия регрессии, ее построение.

3. Две задачи теории корреляции: 1) становление вида функции регрессии; 2) оценка тесноты связи между признаками.

4. статистики тесноты связи: остаточная и межгрупповая дисперсия, корреляционное отношение, корреляционный момент, коэффициент корреляции. Их расчетные формулы и свойства.

5. Выборочное уравнение линейной регрессии. Коэффициент линейной регрессии, их расчетные формулы. Построение линии регрессии.

6. Критерий независимости двух измеримых признаков.

7. Критерий значимости линейной связи между двумя измеримыми признаками.

8. Интервальное оценивание коэффициента корреляции и коэффициентов регрессии.

Примерные вопросы для оценки качества освоения дисциплины на зачете и экзамене.

1. Характерные свойства статистического наблюдения.
2. Ошибки статистического наблюдения.
3. Типы и виды группировок.
4. Формула оптимального числа групп с равными интервалами.
5. Вторичная группировка.
6. Элементы вариационного ряда.
7. Виды относительных величин.
8. Примеры макроэкономических показателей – абсолютных величин.
9. Понятие статистического показателя.
10. Понятие о средней величине.
11. Виды средних.
12. Средняя арифметическая для несгруппированных и сгруппированных данных.
13. Свойства медианы.
14. Статистический смысл моды.
15. Меры вариации.
16. Дисперсия.
17. Свойства среднего арифметического.
18. Свойства дисперсии.
19. Среднее квадратическое отклонение.
20. Коэффициент вариации, в каких случаях его используют.
21. Формула сложения дисперсий.
22. Межгрупповая дисперсия.
23. Эмпирический коэффициент детерминации.
24. Эмпирическое корреляционное отношение.
25. Как получают выборочную совокупность?
26. Способы отбора единиц генеральной совокупности в выборочную совокупность.
27. Ошибка выборки.
28. Средняя ошибка выборки.
29. Механическая выборка.
30. Предельная ошибка выборки.
31. Определение необходимого объема выборки.
32. Проверка статистической гипотезы.
33. Статистический критерий.
34. Уровень значимости.
35. Уровни ряда динамики.
36. Правила построения ряда динамики.
37. Смыкание рядов динамики.
38. Абсолютный прирост.
39. Темп роста.
40. Средний уровень ряда.
41. Тренд.
42. Сезонные волны.
43. Сопоставление параллельных рядов.
44. Укрупнение интервалов.
45. Скользящая средняя.
46. Аналитическое выравнивание рядов динамики.
47. Индекс сезонности.
48. Экстраполяция ряда динамики.
49. Задачи, решаемые с помощью экономических индексов.
50. Общие индексы, различные их виды по методам расчета.
51. Агрегатный индекс стоимости.
52. Индексы цен.
53. Индексы средних величин.
54. Индекс переменного состава.
55. Индекс структуры (структурных сдвигов).
56. Корреляционная связь.
57. Метод аналитических группировок.
58. Регрессионный анализ, его суть.
59. Парная линейная корреляция.
60. Критерий Стьюдента.
61. Метод наименьших квадратов (МНК).
62. Система нормальных уравнений.
63. Коэффициенты эластичности.
64. Парный коэффициент корреляции.
65. Множественная регрессия.
66. Частные коэффициенты корреляции.

Задание 1. Сбор и анализ статистических данных по материалам газеты «Из рук в руки».

1. Взять 50 экземпляров газеты «Из рук в руки» и составить статистическую таблицу по темам на выбор: квартиры (продажа,однокомнатные), аналогично двухкомнатные и т.д., внаем сдача таким же образом, дома и дачи и т.п. Можно также автотранспорт, гаражи и т.д. Наблюдаемыми признаками взять: цена, общая площадь, этаж для квартир, для прочих аналогично, так для дач: цена, расстояние от МКАД, площадь участка и т.п. Для автотранспорта включить в признаки кроме цены, год выпуска и пробег.
2. Выполнить типологическую и структурную, аналитическую группировки собранных данных.
3. Найти групповые и общие показатели средних.
4. Найти групповые и общие показатели вариации.
5. Определить моду и медиану распределения признака цена.
6. Рассчитать коэффициенты корреляции.
7. Построить уравнение регрессии.