Операции над кванторами

Правило отрицания кванторов — применяется для построения отрицаний высказываний, содержащих кванторы, и имеет вид:

Билет №8

1.Декартово произведение множеств.

Если каждому элементу из множества A сопоставлен в соответствие определенный элемент из множества B, то возникает множество, составленное из пар элементов множеств A и B, - декартово произведение множеств.

Записывают декартово произведение множеств так:

A × B = {(a; b) | a ∈ A, b ∈ B}.

Это значит, что если например дано множество A = {1,2,3} и множество B = {15,25}, то их декартово произведение будет состоять из пар:

A × B = {(1;15), (1;25), (2;15), (2;25), (3;15), (3;25)}

Если во множестве A количество элементов равно m, а во множестве B — n, то их декартово произведение будет состоять из m×n элементов.

Следует иметь в виду что A×B и B×A разные множества, так как пары типа (a; b) отличаются от пар тип (b; a).

Примером декартова произведения множеств могут служить

· таблица умножения, где умножаются два множества, содержащие натуральные числа,

· множество точек плоскости с координатами (x; y), где x ∈ A, y ∈ B,

· множество дробей, в которых числитель принадлежит одному множеству, а знаменатель другому.

2.Основные логические операции.

1) Логическое умножение или конъюнкция:

Конъюнкция - это сложное логическое выражение, которое считается истинным в том и только том случае, когда оба простых выражения являются истинными, во всех остальных случаях данное сложеное выражение ложно.
Обозначение: F = A & B.

Таблица истинности для конъюнкции

2) Логическое сложение или дизъюнкция:

Дизъюнкция - это сложное логическое выражение, которое истинно, если хотя бы одно из простых логических выражений истинно и ложно тогда и только тогда, когда оба простых логических выражение ложны.
Обозначение: F = A + B.

Таблица истинности для дизъюнкции

3) Логическое отрицание или инверсия:

Инверсия - это сложное логическое выражение, если исходное логическое выражение истинно, то результат отрицания будет ложным, и наоборот, если исходное логическое выражение ложно, то результат отрицания будет истинным. Другими простыми слова, данная операция означает, что к исходному логическому выражению добавляется частица НЕ или слова НЕВЕРНО, ЧТО.

Таблица истинности для инверсии

4) Логическое следование или импликация:

Импликация - это сложное логическое выражение, которое истинно во всех случаях, кроме как из истины следует ложь. То есть данная логическая операция связывает два простых логических выражения, из которых первое является условием (А), а второе (В) является следствием.

Таблица истинности для импликации

5) Логическая равнозначность или эквивалентность:

Эквивалентность - это сложное логическое выражение, которое является истинным тогда и только тогда, когда оба простых логических выражения имеют одинаковую истинность.

Таблица истинности для эквивалентности